En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat)
és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat
). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.
Una mesura de probabilitat
sempre es defineix sobre un espai mesurable
és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra
de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra
s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat
és una aplicació de
en
Per a tot esdeveniment
:
![{\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d5dea4761465d71e7ef5f42498420ac8656ba8)
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.
Si
designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,
,
És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.
Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles),
satisfà:
.
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).
A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:
![{\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30eefd2069b9bf615edb02e2ab4664c31c0dcc)
demostració
Fent servir el 3r axioma amb
![{\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dac14820f17073d690a36286baeaf79451d742)
per a tot
![{\displaystyle \scriptstyle \ k.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4038fdd9bb5eaa0c703e55812f9ec31d3440766)
s'obté
![{\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6d06335127f830b410817e810be18ff215600b)
relació que no es pot satisfer si
![{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb344505e1b716dd680f480c2bfb5efe26dda4f)
ja que llavors el terme de dreta val
![{\displaystyle \scriptstyle \ +\infty .\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeef1926ba57c5a6f6a28b398ad6e8b4796f21cd)
>Per tant no hi ha altra opció que
![{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f5ec6aaa1a4cff8ca1aec2ae4b587d467cb7cd)
.
- Si
,
són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors
![{\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ec290fd563150bd4c39960feb610f5f988072b)
- De forma més general, si
és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3580db1327ff4d22ea5b88848b62b510466be714)
Demostració
Fent servir el 3r axioma amb
![{\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dac14820f17073d690a36286baeaf79451d742)
per a tot
![{\displaystyle \scriptstyle \ k\geq n+1.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5180770dc5cad436139c5425ebf353bf3d6042)
s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que
per tant
però en virtut del tercer axioma
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1670d9bbf0e38e7eb377157f421b52326cae3e)
i finalment, ja que per a tot
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65964177be6531013e20876952230f0169b41622)
s'obté el resultat desitjat.
;
Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència
. Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de
i de
- En particular, si
, llavors
![{\displaystyle \mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f861ddf4b195fead96e7410a170d46013dac3dbf)
És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on
, la propietat precedent s'escriu
on el primer terme és clarament positiu o zero.
- En el cas particular on
això dona que, per a tot esdeveniment
,
![{\displaystyle \mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30a00ec229e2c45983ae9bab89338a3e8a43a67)
Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.
- Per a tots els esdeveniments
, ![{\displaystyle \ B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c058f124591f21f86504adf1f4685023b3cf5518)
![{\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3ae3844f19e770656b5eee6fb0f4b5290a6f6f)
Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments
o
es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que
es realitzi, i perquè
es realitzi, menys la probabilitat que
i
es realitzin de manera simultània. També,
![{\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910d4851bd2d129187e18e83677e8987ca7a7024)
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cad666f78e3995183b0f5bcae68a32fbc3e44d1)
que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.
Límits creixents i decreixents[modifica]
- Tota successió creixent d'esdeveniments
satisfà:
![{\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dba8d3d8eb71f49433ca08201b7c30f11e1e25)
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.
Demostració
Es posa
Llavors els
són disjunts i verifiquen
Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0207eb5d7d64ea105c814dc37fca09028c3d8e5)
Llavors
![{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cf7b5d75e70c8cfa8f684d257ec517c1a5da86)
no és més que la definició de la
suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.
- Tota successió decreixent d'esdeveniments
satisfà:
![{\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335010f87baf680ff2f33d145fa64422d7f9c96f)
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.
Formulació a partir de la teoria de la mesura[modifica]
De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet
que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual,
, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:
En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».
Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.