Determinant de Hurwitz

En matemàtiques, els determinants de Hurwitz, introduïts pel matemàtic alemany Adolf Hurwitz el 1895, són una sèrie de determinants que s'utilitzen per donar un criteri a totes les arrels d'un polinomi perquè tinguin una part real negativa.

Definició

Considerem un polinomi característic $P$ en la variable $\lambda$ de la manera:

$P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}$

on $a_{i}$, $i=0,1,\ldots ,n$ son reals.

La matriu de Hurwitz quadrada associada a $P$ ve donada com:

$H(p)={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

El determinant de Hurwitz nombre $i$ és el determinant del primer menor nombre $i$ de la matriu de Hurwitz $H$. Els tres primers determinants de Hurwitz són:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

Existeixen $n$ determinants de Hurwitz per a un polinomi característic de grau $n$.

Referències

• Hurwitz, Adolf «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt» (en alemany). Mathematische Annalen [Saxònia], 46, 1895, pàg. 273-284. DOI: 10.1007/BF01446812. ISSN: 0025-5831.
• Wall, H. S «Polynomials whose zeros have negative real parts» (en anglès). The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America (MAA) [Washington D. C], 52(6), 1945, pàg. 308-322. DOI: 10.2307/2305291. ISSN: 0002-9890.