Oscil·lador de van der Pol
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/VanDerPolOscillator.png/220px-VanDerPolOscillator.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/VanderPol-lc.svg/220px-VanderPol-lc.svg.png)
En l'àmbit dels sistemes dinàmics, l'oscil·lador de van der Pol és un oscil·lador amb amortiment no lineal. La seva evolució temporal obeeix l'equació diferencial de segon ordre:[1]
en què x és la posició, funció del temps t, i μ és un paràmetre escalar que incorpora la no linealitat i l'amortiment.
Història[modifica]
L'oscil·lador de van der Pol va ser descrit per l'enginyer i físic Balthasar van der Pol mentre treballava a la casa Philips.[2] Van der Pol va trobar oscil·lacions estables, que va anomenar oscil·lacions de relaxació,[3] conegudes en l'actualitat com cicles límit, en circuits que usaven vàlvules de buit. Quan aquests circuits es fan funcionar a prop del cicle límit entren en acoblament i el senyal entra en fase amb el corrent. Van der Pol i la seva companya, van der Mark, van informar en la data de setembre de 1927 de Nature[4] que, per a determinades freqüències, apareixia un soroll irregular, sempre a prop de les freqüències d'acoblament. Va ser un dels primers descobriments experimentals de la Teoria del caos.[5]
L'equació de van der Pol té una llarga història en física i biologia. Per exemple, en biologia, Fitzhugh[6] i Nagumo[7] van aplicar l'equació a un camp bidimensional en el model de Fitzhugh-Nagumo per descriure el potencial d'acció de les neurones. També s'ha usat en sismologia per modelar el comportament de dues plaques en una falla.[8]
Forma bidimensional[modifica]
El teorema de Liénard demostra que el sistema té un cicle límit. Aplicant la transformació de Liénard , en què el '.' indica derivada, l'equació es pot escriure en forma bidimensional:[9]
Resultats de l'oscil·lador no forçat[modifica]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Vanderpol_mu%3D5.svg/220px-Vanderpol_mu%3D5.svg.png)
Hi ha dos règims de funcionament interessants per a l'oscil·lador no forçat:[10]
- Quan μ = 0, no hi ha esmorteïment, i l'equació queda:
- És la fórmula de l'oscil·lador harmònic simple sense pèrdua d'energia.
- Quan μ > 0, el sistema arribarà a un cicle límit, en el qual es conservarà l'energia. A prop de l'origen x = dx / dt = 0 el sistema és inestable, i lluny de l'origen hi ha amortiment.
L'oscil·lador de van der Pol forçat[modifica]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Vanderpol_time_mu%3D8.53_A%3D1.2_T%3D10.svg/220px-Vanderpol_time_mu%3D8.53_A%3D1.2_T%3D10.svg.png)
Utilitzant una font d'excitació sinusoidal A·sin(ωt) l'equació diferencial queda:
en què A és l'amplitud de l'equació d'ona i ω la seva velocitat angular.
Referències[modifica]
![]() |
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Oscil·lador de van der Pol |
- ↑ Greenberg, Michael D. Advanced Engineering Mathematics (en anglès). 2a. Upper Saddle River, Nova Jersey: Prentice Hall, 1998, p. 372. ISBN 0-13-321431-1.
- ↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc , 35 , 367-376, (1960).
- ↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag & J. of Sci , 2 (7), 978-992 (1927).
- ↑ Van der Pol, B. and Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
- ↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator", Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
- ↑ Fitzhugh, R., "Impuls and Physiological states in Theoretical models of nerve membranes", Biophysics J , 1 , 445 - 466, (1961).
- ↑ Nagumo, J., Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An activeu premeu transmission line simulating nerve Axon", Proc. IRE , 50 , 2061-2070, (1962).
- ↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernández-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable mitjana", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci Engrg. , 9 , 2197-2202, (1999).
- ↑ Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995).
- ↑ Grimshaw, R., Nonlinear ordinary differential Equations , CRC Press, 153-163, (1993), ISBN 0-8493-8607-1