Àbac neperià

Àbac inventat per John Napier per al càlcul de productes i quocients de nombres. També anomenat àbac rabdològic (del grec? Aßdo?, Vareta i? O "o", tractat).

Napier va publicar la seva invenció de les varetes en una obra impresa en Edimburg al final de 1617 titulada Rhabdologia. Per aquest mètode, els productes es redueixen a operacions de suma i els quocients a restes, al igual que amb les taules de logaritme s, inventades per ell mateix es transformen les potències en productes i les arrels en divisions.

L'àbac consta d'un tauler amb vora en què es col·locaran les varetes neperianes per realitzar les operacions de multiplicació o divisió. El tauler té la seva vora esquerre dividida en 9 caselles en les quals s'escriuen els números de 1 a 9.

Una vareta neperiana és una tira de fusta, metall o cartró gruixut. La cara anterior està dividida en 9 quadrats dividits tot ells en dues meitats per un traç diagonal, excepte el superior.

A la primera casella de cada vareta s'hi escriu el nombre, omplint les següents amb el doble, triple, quàdruple i així successivament fins al nónuple del nombre al qual correspongui la vareta.

Els dígits resultants del producte s'escriuen un a cada costat de la diagonal i en aquells casos en què sigui inferior a 10, s'escriuen en la casella inferior, escrivint en la superior un zero.

Un joc consta de 9 varetes corresponents als dígits del 1 a 9. A la figura s'ha representat a més a més la vareta 0, que realment no és necessària per als càlculs.

Multiplicació

Proveïts del conjunt descrit, suposem que volem calcular el producte del nombre 46785399 per 7 .

Al tauler posarem les varetes corresponents al nombre, tal com mostra la figura, fent posteriorment la lectura del resultat en la faixa horitzontal corresponent al 7 del casella del tauler, operació que només requereix senzilles sumes, naturalment amb ròssec dels dígits situats en diagonal.

Començant per la dreta obtindrem les unitats (3), les desenes (6+3 = 9), les centenes (6+1 = 7), etc.

Si algun dígit del nombre que volem multiplicar fos zero, n'hi hauria prou deixar un buit entre les varetes.

Suposem que volem multiplicar el nombre anterior per 96.431; operant anàlogament al cas anterior obtindrem ràpidament els productes parcials del nombre per 9, 6, 4, 3 i 1, posant-los correctament i sumant, obtindrem el resultat total.

Divisió

Igualment podrien realitzar divisions un cop coneguts els 9 productes parcials del dividend; determinats aquests mitjançant l'àbac, només cal seleccionar l'immediatament inferior a la resta sense necessitat de realitzar els molestos temptejos que requereixen les divisions realitzades a mà.

En l'exemple, per fer l'operació anterior, se segueix el mètode següent:

* El dividend (46.785.399) té vuit dígits i el divisor (96.431) té cinc. Per tant, el quocient tindrà 8-5 = 3 dígits. Com a màxim, el quocient podria tenir 8-5+1 = 4 dígits, però al ser el 4 del dividend menor que el 9 del divisor, el quocient és de 3 dígits. Aquestes qüestions pertanyen a l'aritmètica.

Això fa que hagi de desplaçar els 3 - 1 = 2 dígits del dividend, quedant el nombre 467.853 com el minuend al qual cal buscar el subtrahend adequat.

Usant la taula neperià obtinguda, es busca el nombre menor més proper a 467.853, que resulta ser el 385.724, que és subtrahend de l'operació i el número associat a la taula neperians és el 4, nombre que forma part del quocient. El resultat de la resta és 82.129.

* A la quantitat resultant (82.129), se li afegeix un nou que abans havia estat menyspreat, quedant el 821.299.

De nou, cal realitzar l'operació de resta a 821.299 (minuend) amb el subtrahend menor més proper de la taula neperià, que és el 771.448, el número associat és vuit i la resta obté el 49.851.

* A la quantitat resultant (49.851) se li afegeix el següent (i últim) 9, quedant 498.519.

Al minuend 498.519 se li busca a la taula neperià el menor més pròxim, que és el 482.155, el número associat és el cinc. La resta té com a resultat 16.364.

* Com que el 16.364 és menor que qualsevol dels números de la taula neperià i, a més, ja s'han obtingut els tres dígits del quocient: 4, 8 i 5, ja s'ha obtingut la resta de l'operació.

El resultat és per tant el següent (com es pot veure a la taula):

Nom	Valor
Dividend	46.785.399
Divisor	96.431
Quocient	485
Resta	16.364

Arrel Quadrada

Com sabem, per extreure una arrel quadrada primerament, cal agrupar els dígits de dos en dos des de la coma, tant cap a la dreta com l'esquerra, quedant el número de la manera següent:

... xx xx xx xx, xx xx xx ...

Per exemple: el nombre 458.938,34 quedaria 45 89 38, 34.

Prenent el parell (que podrà ser un sol dígit) de l'esquerra (xx), s'obté la xifra a sencera tal que el seu quadrat sigui igual o menor que el parell. Aquesta serà la primera xifra de la solució. Restant del parell el quadrat del sencer així trobat, obtenim la resta:

r _a = xx - a ² (Si el primer parell fora 07, la xifra a seria 2, i la resta 7-4 = 3)

Posteriorment, i de forma iterativa, s'afegeix a la resta el següent parell, quedant un nombre de la forma YXX (i, la resta anterior, xx el parell afegit) que anomenarem Ra. La següent xifra de la solució haurà de ser tal que el quadrat de la solució parcial ab (sent ab un número de dos dígits, no un producte) sigui menor que xxxx (els dos primers pares del radicand):

(ab) ² = (a · 10+b) ² = (a · 10) ²+2 · a · 10 ·+b ² <xxxx

Aïllant:

2 · a · 10 · b+b ² <xxxx - (a · 10) ² = R

(2 · a · 10+b) · b <Ra (I)

Operant de la mateixa manera un cop conegudes les xifres ab, s'haurà de determinar la tercera xifra de la solució (c) i següents (d, e, ...) que, com fàcilment es pot demostrar operant anàlogament al cas anterior, hauran de complir:

(2 · (ab) · 10+c) · c <Rb (II)

(2 · (abc) · 10+d) · d <Rb (III)

(2 · (abcd) · 10+e) · i 10), retirarem l'última vareta, la del 2, substituint-la per la del 3 (és a dir, li sumem una unitat) i afegim la vareta del 6. L'àbac queda com es mostra en (2a). Com es pot observar, les xifres col·locades són les corresponents al doble de la solució trobada fins al moment (68.2 = 136), és a dir, el 2abc de les equacions anteriors.

Fet això, tornem a posar la vareta auxiliar, i operant com en el cas anterior, obtenim (2b) la tercera xifra: 3 , essent la resta 1364. Descendim el següent parell obtenint un valor 136.499, posem la vareta 6 (3.2) i trobem el següent dígit 9 i la resta 13.478. Mentre la resta sigui diferent de zero es pot seguir obtenint xifres significatives.

Per exemple, per obtenir el primer decimal, baixaríem el parell 00 obtenint el nombre 1.347.800 i col·locaríem les varetes de l'9.2 = 18, quedant en el tauler les següents: 1-3-6-7 (6+1) -8 -- auxiliar. Fent la comprovació, s'obté el primer decimal = 9 .

Modificacions

Durant el segle XIX, l'àbac neperià va patir una transformació per facilitar la lectura. Les varetes van començar a fabricar-se amb una inclinació de l'ordre de 65 º, de manera que els triangles que havien de sumar-se quedaran alineats verticalment. En aquest cas, a cada casella de la vareta es consigna la unitat a la dreta i la desena (o el zero) a l'esquerra.

Les varetes estaven fabricades de manera que el gravat vertical i horitzontal era més visible que les juntes entre les varetes, facilitant molt la lectura en quedar el parell de components de cada dígit del resultat en un rectangle.

Així, a la figura s'aprecia immediatament que:

987654321 x 5 = 4938271605

Àbac de fitxes

A més de l'àbac anterior, Napier va construir un àbac de fitxes. Tots dos, reunits en un únic aparell constitueixen una joia històrica, única a Europa, que posseeix el Museu Arqueològic Nacional espanyol.

Àbac del MAN (Madrid).

L'aparell és una magnífica caixa de fusta amb incrustacions de os. A la part superior conté l'àbac rabdològic, mentre que a la inferior es troba el segon àbac que consta de 300 fitxes de emmagatzemades en 30 calaixos de les quals 100 estan cobertes de xifres i dues-centes mostren petits forats triangulars que permeten veure únicament certes xifres de les fitxes de números quan se superposen a aquelles, de manera que gràcies a l'hàbil col·locació d'uns i altres poden fer multiplicacions fins al sorprenent límit d'un nombre de 100 xifres per un altre de 200.

A les portelles de la caixa es troben a més les primeres potències dels números dígits, els coeficients dels termes de les primeres potències del binomi i les dades numèriques dels políedre s regulars.

Es desconeix qui va ser l'autor d'aquesta riquíssima joia, ni si és d'autoria espanyola o estrangera, encara que és probable que originalment pertanyés a la Acadèmia de Matemàtiques creada per Felip II o que la portés com a regal el Príncep de Gal. L'únic que es pot assegurar és que es conservava a Palau, d'on va passar a la Biblioteca Nacional i posteriorment al Museu Arqueològic Nacional, on encara es conserva .

A 1876, el govern espanyol va enviar l'aparell a l'exposició d'instruments científics celebrada a Kensington, on va anomenar extraordinàriament l'atenció, fins al punt que diverses societats consultar a la representació espanyola sobre l'origen i ús de l'aparell, el que va motivar que D. Felip Picatoste escrivís una monografia que va ser posteriorment enviada a totes les nacions, sorprenent el fet que l'àbac només fos conegut a Anglaterra, país d'origen del seu inventor.

Vegeu també

• Neper
• Nombre e

Referències

• Font: Diccionari Enciclopèdic Hispano-Americà , Montaner i Simon (1887).