Àlgebra associativa

En matemàtiques, una àlgebra associativa sobre un anell és un mòdul que també permet la multiplicació de vectors de manera distributiva i associativa.

Definició general

Siguin $(R,+, \cdot)$ i $(S,+, \cdot)$ dos anells unitaris, i $f: R \longrightarrow S$ un homomorfisme entre anells unitaris (és a dir, un homomorfisme d'anells de manera que $f (1_R) = 1_S$). Definim l'operació externa:

$\begin{matrix}*: & R \times S & \longrightarrow & S\\ & (r,s) & \mapsto & f(r)\cdot s \\ \end{matrix}$

Aquesta operació $*$ dota al grup abelià $(S ,+)$ d'estructura de R-mòdul per l'esquerra. Aquesta operació és, a més, compatible amb el producte $\cdot$ de l'anell S en el següent sentit: donats $a, b \in R, \alpha \in S$, s'ha de $\alpha * (a \cdot b) = (\alpha * a) \cdot b$.

Cas especial en què l'anell és un cos

Si tenim un cos K, un anell R i un homomorfisme unitari d'anells $f: K \longrightarrow R$, tenim llavors que ker f = 0, i per tant f és un monomorfisme i podem considerar que K és un subanell de R (mitjançant el primer teorema d'isomorfia, K és isomorf a un subanell de R). Una àlgebra associativa sobre un cos K , llavors, es pot definir de manera equivalent com un espai vectorial sobre K juntament amb una multiplicació K-bilineal A x A → A (on la imatge de (x, y) s'escriu com xy) tal que la llei associativa valgui:

• (xy)z = x(yz) per a tot x, y, z dins A.

La bilinealitat de la multiplicació es pot expressar com

• (x + y) z = xz + yz; per a tot x, y, z dins A,
• x (y + z) = xy + xz; per a tot x, y, z dins A,
• a(xy) = (ax)y = x(ay); per a tot x, y en A; a en K.

Si A conté un element identitat, és a dir un element 1 tal que 1x = x1 = x per a tot x dins A, llavors diem que A és una àlgebra associativa amb unitat, o unitària, o unital. Tal àlgebra és un anell i conté una còpia del cos de base K en la forma { a1 : a pertany a K }.

La dimensió de l'àlgebra associativa sobre el cos K és la seva dimensió com a K-espai vectorial.

Exemples

• Les matrius quadrades n×n amb les entrades del cos K formen una àlgebra associativa unitària sobre K.
• Els nombres complexos formen una àlgebra associativa unitària de 2 dimensions sobre els nombres reals.
• Els quaternions formen una àlgebra associativa unitària 4-dimensional sobre els reals (però no un àlgebra sobre els nombres complexos, ja que els nombres complexos no commuten amb els quaternions).
• Els polinomis amb coeficients reals formen una àlgebra associativa unitària sobre els reals.
• Donat qualsevol espai de Banach X, els operadors lineals continu s A: X → X formen una àlgebra associativa unitària (que fa servir la composició d'operadors com multiplicació), és a dir de fet un àlgebra de Banach.
• Donat qualsevol espai topològic X, les funcions contínues valorades en els reals (o els complexos) en X formen una àlgebra associativa unitària real (o complexa); aquí sumem i multipliquem les funcions punt a punt.
• Un exemple d'un àlgebra associativa no unitària ve donat pel conjunt de totes les funcions f: ℝ → ℝ el límit quan x s'acosta a infinit és zero.
• Les àlgebres de Clifford són útils en geometria i física.
• Les àlgebres d'incidència de conjunts parcialment ordenats localment finits són àlgebres associatives unitàries són considerades en combinatòria.

Homomorfisme d'àlgebres

Si A i B són àlgebres associatives sobre el mateix anell R, un homomorfisme d'àlgebres h: A → B és un homomorfisme de R-mòduls que també és multiplicatiu en el sentit que h(xy) = h(x) h(y) per a tot x, y dins A. Amb aquesta noció de morfisme, la classe de totes les àlgebres associatives sobre R es converteix en una categoria.

Agafeu per exemple l'àlgebra A de totes les funcions contínues amb valors reals $\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$, i la B = $\mathbb{R}$. ambdues són àlgebres sobre $\R$, i la funció que assigna a cada funció contínua f el valor f(0) (avaluació en 0) és un homomorfisme d'àlgebres de A a B.

Coàlgebres

Una àlgebra associativa unitària sobre R es basa en un morfisme A x A → A que té dues entrades (multiplicador i multiplicant) i una sortida (el producte), així com un morfisme R → A que identificava els múltiples escalars de la identitat multiplicativa. Aquests dos morfismes poden ser dualitzats amb dualitat categorial invertint totes les fletxes en els diagrames commutatius que descriuen els axiomes de l'àlgebra; això defineix una estructura de coàlgebra.