Àlgebra multilineal

A la matemàtica, l'àlgebra multilineal és una àrea d'estudi que generalitza els mètodes del àlgebra lineal. Els objectes d'estudi són els productes tensorials de espais vectorials i les transformacions multi-lineals entre els espais.

Notació

L'àlgebra multilineal fa un ús intensiu de la notació multi-índex. Una notació d'aquest tipus fa representar les combinacions lineals per un conjunt de dos o més índexs repetits.

• En el cas elemental (tensors de rang un contravariant ) tenim, utilitzant la convenció de la suma de Einstein: $\scriptstyle X = X^se_s\,$. La qual cosa indica que l'objecte X, és la combinació lineal:

$\scriptstyle\sum_{s = 1}^{n}X^se_s = X^1e_1+X^2e_2+\cdots+X^ne_n$

sobre els vectors bàsics $\scriptstyle e_s\,$, i els $\scriptstyle X^s\,$ anomenats els components d'X Aquí $n$ és la dimensió (algebraica) d'espai on "viu" X. Per convenció es diu a aquests 1-contra-tensor és.

• En rang uno també hi ha els 1-co tensor és, és a dir mapeig s lineals des de l'espai triat cap al camp dels escalars. Ells s'escriuen com a combinació lineal dels funcionals lineals $\scriptstyle i^s$, transformacions lineals $\scriptstyle V\to\mathbb{K}$ que satisfan: $\scriptstyle i^s (e_{\sigma}) ={\delta^s}_{\sigma}$, on (com clàssicament) es està utilitzant el delta de Kronecker. Així qualsevol covectors $\scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K}$ s'escriu com $\scriptstyle f = f_se^s\,$, notació que s'abreuja $\scriptstyle f = f_1e^1+\cdots+f_ne^n\,$.
• Tensors de rang dos :
  • Un tensor de rang dos contravariant és $\scriptstyle B = B^{st}e_s\otimes e_t$.
  • Un tensor de rang dos covariant és $\scriptstyle C = C_{st}e^s\otimes i^t$.
  • I un tensor de rang dues mixtes és $\scriptstyle D ={D^s}_T e_s\otimes e_t$. Això INID una combinació lineal bi-indexada .

Per exemple,

$\scriptstyle B = B^{11}e_1\otimes e_1+B^{12}e_1\otimes e_2+B^{21}e_2\otimes e_1+B^{22}e_2\otimes e_2$

si la dimensió de l'espai és dos.

• Generalitzant l'anterior s'escriu $\scriptstyle{A^{i_1i_2 ... i_p}}_{j_1j_2 ... j_q}$ per representar els components d'un tensor mixt A, que és p-contravariante i q-covariant. Però

$\scriptstyle A ={A^{i_1i_2 ... i_p}}_{j_1j_2 ... j_q}e_{I_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes i^{j_1}\otimes\cdots\otimes i^{j_q}$

representa una combinació lineal multi-indexada.

Tot això només ha estat considerant que l'espai vectorial és de dinensión finita igual a n .

Producte tensorial

Tenint dos espais vectorials V , W , amb respectives bases $\{b_1 ,..., b_n\}$, $\{C_1 ,..., c_m\}$ es defineix el seu producte tensorial

< math>\scriptstyle V\otimes W: =\langle\{b_i\otimes c_j\}\rangle </math>

és a dir l'espai vectorial generat pels nous símbols

$\scriptstyle\{b_1\otimes C_1, b_1\otimes C_2 ,..., b_n\otimes c_{m-1}, b_n\otimes c_m\}$

I per tant si un objecte X que viu en (part de) $\scriptstyle V\otimes W$ llavors ell es pot representar com una combinació lineal

$\scriptstyle X = X^{11}b_1\otimes C_1+X^{12}b_1\otimes C_2+\cdots+ X^{ij}b_i\otimes c_j+\cdots+X^{nm}b_n\otimes c_m$

i la qual es va a abreujar com

$\scriptstyle X = X^{st}b_s\otimes c_t$ els índexs repetits s o t , un cop dalt i un cop baix-és convingut-indica sumació, cada uno .

Aquesta definició és absolutament abstracta, però des del punt de vista algebraic no hi ha cap problema explorar totes les possibilitats del producte tensorial. Un munt d'espais sorgeix (i d'importància capital) simplement en considerar un espai vectorial V i el seu dual $V^*$ un obté els espais:

$\scriptstyle V\otimes V\otimes V = V^{3\otimes}$

$\scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V)$

$\scriptstyle V^*=\Lambda^1 (V)\,$

$\scriptstyle V\wedge V$

$\scriptstyle\Lambda^k (V)\,$

Tots ells d'ús quotidià em la geometria diferencial, geometria algebraica, algebra commutativa, relativitat i quàntica, teories de camp, QFT, TQFT i altres.

Tensors i formes

Sigui $V$ generat pels $b_i$. Simbolitzi amb $\beta^{\mu}$ la base dual $\scriptstyle V^*$. Qualsevol element de $\scriptstyle V^*\otimes V^*$ s'escriu de la forma $\scriptstyle B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}$. Aquesta mateixa expressió pot ser vista com un mapa bilineal

$\scriptstyle V\times V \stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu} } \longrightarrow\mathbb{R}$

$\scriptstyle (b_i, b_j)\mapsto B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i, b_j) = B_{ij}$

sabent que $\scriptstyle \beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i, b_j) ={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j$ - Kronecker.

Un altre de rang dos és $\scriptstyle V\otimes V^*$. Els elements d'aquí es veuen com combinacions lineals bi-indexades $\scriptstyle{B^{\mu}}_\nu b_{\mu}\otimes\beta^{\nu}$.

Alguns conceptes desenvolupats (llista incompleta)

• tensor
• espai dual
• covectors
• geometria diferencial
• càlcul tensorial
• anàlisi vectorial
• covariància i contravarianza
• tensor mètric
• derivada covariant
• connexió
• tensor de curvatura de Riemann
• símbols de Christoffel
• àlgebra exterior
• forma diferencial
• curvatura
• teorema de Stokes
• Símbol de Levi-Civita
• Secció (matemàtiques)
• Camp vectorial
• Camp tensorial
• Pullback