Òrbita de Hohmann

Una òrbita de Hohmann o òrbita de transferència és la trajectòria el·liptica al llarg de la qual un vehicle espacial necessita la mínima quantitat d'energia per moure's entre una òrbita circular i una altra. Per exemple: de la Terra a un altre planeta o d'una òrbita baixa terrestre a una òrbita geostacionaria. Una òrbita de transferència de Hohmann és tangent a les dues altres òrbites sense creuar-les, i estalvia combustible però és més lenta. Fou calculada per primera vegada per l'enginyer alemany Wolfgang Hohmann el 1925.

Òrbita de transferència geostacionària

Representació d'una òrbita de transferència geostacionària (1: la Terra. 2: òrbita de transferència. 3: Òrbita geostacionària.)

L'òrbita de transferència geostacionària (GTO, de l'anglès Geostationary Transfer Orbit) és un cas particular d'òrbita de Hohmann que s'utilitza en el llançament de satèl·lits geostacionaris. El coet llançador deixa el satèl·lit en aquesta òrbita. Posteriorment, aquest utilitza els seu propi sistema de propulsió per arribar a la seva destinació definitiva (l'òrbita geostacionària). La característica principal de l'òrbita de transferència geostacionària és que té un apogeu a 35.786 km. (l'alçada de l'òrbita geostacionària) i un perigeu a la zona d'òrbites baixes.

Molts coets llançadors no tenen la capacitat per deixar els satèl·lits enllà de la zona d'òrbites baixes. Per això s'ha d'utilitzar aquesta òrbita de transferència, que sí que és assolible pel coet. L'empenyiment suplementari per arribar a l'òrbita geostacionària pot ser realitzada directament pel satèl·lit ja que l'apogeu de l'òrbita de transferència es troba a 35.786 km.

La inclinació de l'òrbita de transferència i l'alçada exacta del perigeu depenen del lloc de llançament i del coet utilitzat. Cal notar també que aquesta òrbita travessa els cinturons de radiació. En conseqüència, els satèl·lits hi resten el mínim de temps possible per tal de disminuir el risc d'avaria causat per l'intens nivell de radiació.

Calcul

Per un cós petit orbitant sobre un altre cós , com un satèl·lit· orbitant sobre la Terra, la energia total del cós es nomes la suma de la energia cinètica i energia potencial, i aquesta energia total es igual a la mitat del potencial en el punt mes llunya a (el semi-eix major):

$E=\frac{1}{2}m v^2 - \frac{GM m}{r} = \frac{-G M m}{2 a} \,$

Solucionant l'equació per la velocitat en l'equació de conservació de energia orbital,

$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$

On $v \,\!$ es la velocitat de un cós orbitant,

$\mu = GM\,\!$ es el paràmetre gravitacional estàndard del cós principal,
$r \,\!$ es la distancia del cós orbitant al principal y
$a \,\!$ es el semi-eix major del cós orbitant

Per tant, el delta-v necessari para una transferència de Hohmann es,

$\Delta v_P = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)$ (per el delta-v en periastro).

$\Delta v_A = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right)$ (per el delta-v en apoastro).

On $r_1\,\!$ es el radi de la òrbita menor i la distancia de periastro de la òrbita de transferència de Hohmann y
$r_2\,\!$ es el radio de la òrbita major i la distancia de apoastro de la òrbita de transferència de Hohmann.

Si se esta moguen a una òrbita major o menor, per les tercera llei de Kepler, el temps para realitzar la transferència es:

$t_H = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3_H}{\mu}} = \pi \sqrt{\frac {(r_1 + r_2)^3}{8\mu}}$

On $a_H\,\!$ es la longitud del semi-eix major de la òrbita de transferència de Hohmann.

Exemple

Per la órbita de transferencia geoestacionaria, $r_2$ = 42.164 km i com exemple, $r_1$ = 6.678 km (una altitud de 300 km).

La velocitat en la òrbita circular menor es de 7,73 km/s i en la major de 3,07 km/s. En la òrbita el·líptica la velocitat varia des de 10,15 km/s en els perigeo y 1,61 km/s en els apogeo.

Els delta-v son 10,15 - 7,73 = 2,42 km/s i 3,07 - 1,61 = 1,46 km/s, o un total de 3,88 km/s.

Comparat amb el delta-v de una órbita de escape: 10,93 - 7,73 = 3,20 km/s. Aplicant un delta-v de órbita terrestre baixa de nomes 0,78 km/s mes que donaria el coet a velocitat de escapada, mentre que el delta-v de una òrbita geoestacionaria de 1,46 km/s per arribar a la velocitat de escapada de aquesta òrbita circular. Això il·lustra que a grans velocitats el mateix delta-v proporciona mes energía orbital específica i l' increment de energia se maximitza si es gasta el delta-v tan aviat com sigui possible en lloc de utilitzar-lo en dos ocasions.

Delta-V máxim

En una òrbita de transferència de Hohmann des de una òrbita circular a una altre major, en el cas de un cos central únic, costa de un delta-V major (53,6% de la velocitat orbital original) si el radi de la òrbita final es 15,6 (la arrel positiva de l'equació es $x^3-15x^2-9x-1=0$) vegades mes gran que la òrbita inicial. Per òrbites finals mes grans, el delta-V disminueix de nou i tendeix a $\sqrt{2}-1$ vegades la velocitat orbital original (41,4%).

Interplanetary Transport Network

El 1997 , es va publicar un grup de noticies conegudes com a Interplanetary Transport Network(Ret de transport Interplanetari que proporciona recorreguts de baixa energia , però me lentes , entre distintes orbites que no les orbites de transferència Hohmann