Infinit

El símbol ∞ en diferents tipografies.

El concepte d'infinit apareix en diverses branques de la filosofia, la matemàtica i l'astronomia, en referencia a una quantitat sense límit o final, contraposat al concepte de finitud.

En matemàtiques l'infinit, representat amb el símbol ∞ ($\infty$), és la fita superior del conjunt del nombres reals.

Tanmateix, no es tracta d'un nombre en si, sinó d'un concepte al qual hom només s'hi pot aproximar mitjançant límits. Per exemple, a la funció $f(x)={1 \over x^2}$, quan x tendeix a 0 (és a dir, s'aproxima cada cop més a 0), $f(x)$ tendeix a l'infinit (es fa cada cop més gran), però no es diu que arriba al valor "infinit".

Símbol

John Wallis va ser el primer matemàtic a utilitzar el símbol de l'infinit a les seves obres.

El símbol de l'infinit va ser introduït pel matemàtic anglès John Wallis al 1655, a la seva obra De sectionibus conicis, i poc després en l' Arithmetica Infinitorum:

esto enim ∞ nota numeri infiniti.

Posseeix la forma de la Lemniscata de Bernoulli, encara que realment es desconeix d'on Wallis va treure la idea. Molts comenten que té la forma d'una banda de Moebius, però no és cert, ja que el descobriment d'August Möbius va ser posterior.

Existeixen tres hipòtesis pel que fa a l'origen d'aquesta elecció. La més habitualment admesa és que es tracta d'una evolució de la xifra que designa '1000' en numeració romana: de manera successiva Ⓧ, després CIƆ, abans d'esdevenir M. L'evolució gràfica del segon símbol hauria donat $\infin$. En paral·lelament s'observa l'ús de la paraula llatina mille en plural per designar un nombre arbitràriament gran i desconegut. En català es diu n'hi ha milers amb aquest mateix sentit. El símbol actual seria doncs simplement l'evolució del dígraf en minúscula cıɔ en escriptura manuscrita uncial.

Una hipòtesi rival és que el símbol procediria de la lletra grega ω, última lletra de l'alfabet grec, i metàfora habitual per designar l'extrem final (com en l'expressió l'alfa i l'omega). A partir de Georg Cantor per altra banda es fan servir lletres gregues per designar els nombres ordinals infinits. El nombre ordinal infinit més petit, que correspon a l'ordre usual sobre els nombres naturals, es anota ω.

Finalment, Georges Ifrah, a la seva enciclopèdia «La història universal de les xifres», explica que la grafia de l'infinit es remunta a la civilització índia, i més particularment a la mitologia índia. L'Ananta (terme sànscrit que significa infinit) la «serp infinita» del déu Vishnu, es representa enrotllat sobre ell mateix a la manera d'un «vuit caigut».

Història

L'infinit potencial a l’antiguitat

Els matemàtics han fet servir de sempre la pertinença i la inclusió però han tingut grans dificultats per associar a aquests conceptes els de nombre i grandària. Es conformaven amb la possibilitat d'augmentar tota grandària donada, o de disminuir-la si es tracta d'una grandària continua.

És així que Euclides, en lloc de dir «el conjunt dels nombres primers és infinit», diu «per a tota quantitat donada de nombres primers, n'hi ha un més gran». Igualment, Aristòtil es nega a considerar que una línia recta està «composada de punts».

Galileu es fixa en què hi ha una correspondència biunívoca entre els nombres naturals i els seus quadrats, d'on dedueix que l'afirmació habitual: «el tot és més gran que la part» no es verifica quan es parla de quantitats infinites. Tanmateix, lluny de trobar-hi una motivació per a l'estudi dels conjunts infinits, hi veu la prova del caràcter no operatiu de l'infinit, posició aprovada més de dos segles més tard per Cauchy. Així doncs, fins bastant abans de l'època moderna, els matemàtics es prohibien fer servir directament els conjunts infinits i preferien raonar sobre les propietats dels seus elements. Això no va impedir el naixement del càlcul infinitesimal, tal com reconeix Bourbaki,

L'infinit potencial i els constructivistes moderns

Procedent de la «crisi dels fonaments» del començament del segle XX, el corrent intuicionista promogut per Brouwer, rebutja els mètodes de la lògica clàssica, que considera que no és aplicable en qualsevol cas als objectes infinits. . avui aquest terme d'intuitionniste s'aplica a una axiomatització ben precisa de la lògica sense terç exclòs. Una forma de filosofia matemàtica que es reivindica normalment de la de Brouwer és la del corrent constructivista, un representant notori del qual, Roger Apéry ha exposat així el concepte de l'infinit :

Si extrapola la realitat, el matemàtic constructiu refusa les hipòtesis fantàstiques dels platònics ; en efecte (......) constata que la matemàtica es desenvolupa en el temps. (.......) la seva immortalitat li permet assolir nombres tan grans com vulgui, però no definir tots els nombres ; creu en l'infinit potencial, no en l'infinit actual.

És la incursió del temps que en efecte per als constructivistes distingeix l'infinit potencial, les parts del qual es construeixen de forma successiva, de l'infinit actual, les parts del qual venen donades de manera simultània; ara bé per a ells es tracta en efecte d'una activitat humana ; «No hi ha matemàtiques sense matemàtic» diu Apéry.

L'infinit actual i el temps

A l'Edat Mitjana, sant Bonaventura havia afirmat que des d'un pur punt de vista lògic - independentment del que deia la Bíblia - era impossible que el món sempre hagués existit; Tomàs d'Aquino va refutar aquesta asserció per un raonament formal, res en absència d'informació no permet excloure a priori una eternitat completada en l'actualitat.

Un sofisma cèlebre, imaginat pel creacionista americà W. L. Craig segons una paràbola de Bertrand Russell l'objectiu de la qual era un altre, pretén demostrar la impossibilitat d'una duració infinita acabada, i per tant provar que el món ha tingut un començament, a partir de la història de Tristram Shandy, que escriu la seva autobiografia al ritme d'un any d'escriptura per jornada viscuda, i ha fet això tots els anys del passat. Per tant si el temps no ha començat mai, quin dia de la seva vida Tristram Shandy ha comentant aquest any? No pot ser cap dia del passat, per tant és impossible que el temps no tingui un origen.

La superxeria és evident per a qui coneix les coordenades cartesianes: el guió implica una contradicció; Tristram Shandy que escriu 365,25 vegades més a poc a poc que el rellotge ha començat necessàriament la seva autobiografia algun dia, el que en cap cas no prova la necessitat lògica d'un començament del temps.

L'infinit en matemàtiques

El cos estès dels nombres reals

L'infinit no és un nombre real, però pot ser considerat part del conjunt estès dels nombres reals, on les operacions aritmètiques amb l'infinit es poden dur a terme.

• No és realment un nombre.
• Tot nombre dividit per zero, excepte el zero, dóna com a resultat l'infinit.
• Indica la impossibilitat de realitzar alguna operació sobre cert valor numèric.
• A pesar de tot, si s'observen punts molt pròxims (això vol dir cercar el Límit), es comprova que apropant-se prou, els resultats poden superar qualsevol valor prefixat per molt gran que sigui.

Operacions de l'infinit amb ell mateix

1. $\infty + \infty = \infty \cdot \infty = (-\infty) \cdot (-\infty) = \infty$
2. $(-\infty) + (-\infty) = \infty \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot \infty = (-\infty)$

Operacions de l'infinit amb nombres reals

1. $-\infty < x < \infty$
2. $x + \infty = \infty$ i $x + (-\infty) = (-\infty)$
3. $x - \infty = -\infty$
4. $x - (-\infty) = \infty$
5. ${x \over \infty} = 0$ i ${x \over -\infty} = 0$
6. Si $0 < x < \infty$ aleshores $x \cdot \infty = \infty$ i $x \cdot (-\infty) = (-\infty)$.
7. Si $-\infty < x < 0$ aleshores $x \cdot \infty = -\infty$ i $x \cdot (-\infty) = \infty$.

Operacions no definides

1. $0 \cdot \infty$ i $0 \cdot (-\infty)$
2. $\infty + (-\infty)$ i $(-\infty) + \infty$
3. ${\pm\infty \over \pm\infty}$
4. ${\pm\infty}^0$
5. $1^{\pm\infty}$

També s'ha de dir que $[{x \over \infty} = 0] \not\equiv [0 \cdot \infty = x]$, ja que 0 vegades infinit no està definit.

Anàlisi no estàndard

La formulació original del càlcul infinitesimal feta per Newton i Leibniz feia servir quantitats infinitesimals. Al segle XX, es va demostrar que aquest tractament es podria posar fonamentar de forma rigorosa a través de diversos sistemes lògics, entre els que hi ha l'anàlisi no estàndard. Aquí, els infinitesimals tenen inversa respecte de la multiplicació, i els les seves inverses són nombres infinits. Els infinits en aquest sentit són part d'un cos; no hi ha cap equivalència entre ells com amb els transfinits de Cantor. Per exemple, si H és un nombre infinit, llavors H + H = 2H i H + 1 són nombres infinits diferents. Aquesta aproximació a càlcul no estàndard es desenvolupa plenament al llibre de H. Jerome Keisler.

Anàlisi complexa

Com en l'anàlisi real, en l'anàlisi complexa el símbol $\infty$, anomenat "infinit", denota un límit infinit sense signe. $x \rightarrow \infty$ vol dir que la magnitud $|x|$ de x augmenta més enllà de qualsevol valor assignat. Es pot afegir un punt etiquetat $\infty$ al pla complex com un espai topològic que queda compacte a l'afegir aquest punt. Quan es fa això, l'espai que resulta és una varietat complexa unidimensional, o Superfície de Riemann, anomenada el pla complex estès o l'esfera de Riemann. També es poden definir operacions aritmètiques similars a les que es defineixen pels nombres reals estesos, encara que no hi ha cap distinció en els signes (per això una excepció és que l'infinit no es pot sumar amb si mateix). D'altra banda, aquesta classe d'infinit permet la divisió entre zero, és a dir $z/0 = \infty$ per a qualsevol nombre complex z. En aquest context sovint és útil considerar funcions meromorfes com aplicacions a l'esfera Riemann que prenen el valor de $\infty$ als pols. El domini d'una funció amb valors complexes també es pot estendre per incloure el punt de l'infinit. Un exemple important de tals funcions és el grup de transformacions de Möbius.

Geometria i topologia

Els espais de dimensió infinita es fan servir àmpliament en geometria i topologia. Els exemples comuns són l'espai projectiu complex de dimensió infinita K(Z,2) i l'espai projectiu real de dimensió infinita K(Z/2Z,1).

Teoria de conjunts

Infinit de primer ordre

Formalment el concepte d'infinit neix amb la creació, per part principalment de Georg Cantor, de la teoria de conjunts. En aquesta es treballa amb col·leccions tancades (respecte l'operador intern) d'elements de qualsevol mena; doncs bé, un dels primers aspectes definidors del dit conjunt que apareix de manera natural és com de gran és aquest conjunt. Òbviament, en el càlcul de potències de conjunts finits, la definició és òbvia i evident, no així en el cas de conjunts formats per un nombre "infinit" de termes.

Quan un conjunt té un nombre indeterminat d'elements no es poden comptar (el propi article explica el perquè), així doncs l'única cosa que resta per a poder fer serà comparar el conjunt d'infinits elements amb algun que es faci servir de patró. Històricament es va agafar el conjunt dels nombres naturals com a patró, i s'hi va associar la potència $\aleph_0$; un cop fet això es procedeix a escollir qualsevol altre conjunt de nombre indeterminat d'elements i procedir a la seva comparança (si un conjunt té per potència $\aleph_0$ se'n diu numerable). Imagine el lector que s'escull el conjunt de nombres racionals, hom pot pensar que, per estar els nombres racionals definits per la divisió no sencera de dos nombres sencers, es tenen dos graus de llibertat i per tant la cardinalitat del conjunt en qüestió és major que la del patró escollit abans ($\aleph_0$). Res més lluny de la realitat, com es pot rumiar ràpidament, una manera de comprovar la potència del nostre conjunt respecte de la del conjunt de nombres naturals és posar-los en relació biunívoca, és a dir, relacionar-los d'un a un. Doncs bé, una manera de relacionar-los seria considerar qualsevol nombre racional com $n={a \over b}$, on a i b son nombres coprimers; si es fa una llista amb un cert criteri, per exemple ascendent ,aquesta quedarà ordenada directament (vegeu que en aquest cas, per ser el conjunt de nombres naturals un conjunt totalment ordenat es pot fer aquesta afirmació). Doncs si s'aplica el criteri d'alçada a l'hora d'ordenar la llista, definint com a alçada la suma de valors absoluts de numerador i denominador, es té que l'unic nombre racional que té alçada 1 és el $n={0 \over 1}$, d'alçada dos en tenim $n={-1 \over 1}$ i $n={1 \over 1}$, d'alçada 3 seran $n={2 \over 1}$, $n={1 \over 2}$, $n={-2 \over 1}$ i $n={-1 \over 2}$… Com es pot veure és possible crear una taula tal com:

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Aquesta taula, òbviament, continua fins allà on es vulga. Es pot comprovar com les diagonals ascendents (les que ascendeixen d'esquerra a dreta) tenen sempre un valor constant, aquest valor és precisament l'alçada abans esmentada, i el nombre de nombres racionals que les compleixen són els valors de la primera fila i primera columna de cada element de la diagonal. Així les coses, els nombres racionals d'alçada 4 seran (tot veient la taula) $n={1 \over 3}$, $n={3 \over 1}$ i $n={2 \over 2}$, i a aquests se'ls han d'afegir els corresponents negatius, en total sis nombres racionals. Per tant cada alçada n tindrà 2*(n-1) nombres racionals associats. Arribats a aquest punt cal comentar que a l'hora de construir la taula s'han afegit nombres racionals reductibles (és a dir, que els seus numerador i denominador no són coprimers), això però no afecta en estar comparant un conjunt major que el dels racionals.

Així doncs es veu com es pot establir una relació biunívoca entre un nombre natural qualsevol n i un conjunt finit d'elements de nombre 2*(n-1). Per últim queda demostrar si la suma numerable de conjunts finits o numerables és numerable. Aquest lema exactament igual a com s'ha demostrat l'anterior, fent ús de taules que permetin relacionar cadascun dels cinjunts amb els nombres naturals.

Ara ja s'ha vist que el conjunt de nombres racionals és numerable, i per extensió, que la suma numerable de conjunts numerables és numerable, per tant es pot intuir que el conjunt format per totes les possibles potències associades a conjunts segueix un comportament vers els seus operadors interns certament especial.

Infinit de segon ordre: demostració

Un cop vist un conjunt de potència igual a la dels naturals, vegi's un exemple de conjunt de potència major que la dels naturals: els nombres reals.

Per demostrar-ho cal provar que per qualsevol successió de nombres reals sempre es pot trobar un nombre real que no pertany a la successió. Una forma de trobar-ne un és amb la diagonalització de Cantor. Una altra forma es pot explicar intuïtivament de la següent manera: Es tracta de construir una successió numerable d'intervals tancats tal que la intersecció de tots no contingui cap nombre de la successió. Com que la intersecció de tots aquests intervals no és buida, pel capbaix hi ha sempre un nombre real que no pertany a la successió. Una manera de construir aquests intervals és començar amb un interval, per exemple [0,1], anar repassant els nombres de la successió fins a trobar-ne un que quedi dins de l'interval, llavors es mira de quin extrem queda més aprop i es defineix un nou interval que conservi l'altre extrem i deixi fora el nombre de la successió, a partir d'aquí es repeteix el procés amb el nou interval. De manera més formal:

es construeixen dues successions $(a_i)\;$, $(b_i)\;$ definides per recurrència tals que la proposició següent sigui verdadera:

$(1)\quad\forall i < n, \; u_i \;\not\in\; \left[a_n,b_n \right]\;$

S'inicialitzen les dues successions amb les definicions següents:

$a_0=0\quad \mbox{ i } \quad b_0=1\;$

És evident que la propietat (1) és verdadera si n és igual a 0. Es defineixen llavors les successions per $n+1\;$.

$a_{n+1}=\left\{\begin{matrix} (a_n+2b_n)/3, & \mbox{si }u_n \in \left[a_n,(a_n+b_n)/2 \right] \\ a_n, & \mbox{si no} \end{matrix}\right.$

$b_{n+1}=\left\{\begin{matrix} b_n, & \mbox{si }u_n \in \left[a_n,(a_n+b_n)/2 \right] \\ (2a_n+b_n)/3, & \mbox{si no} \end{matrix}\right. \;$

L'interval $\left[a_{n+1},b_{n+1} \right]\;$ està inclòs dins l'interval $\left[a_n,b_n \right]\;$, no pot contenir d'element de la successió $(u_i)\;$ d'ordre estrictament inferior a $n\;$ per hipòtesi de recurrència. Per construcció de les successions $(a_i)\;$ i $(b_i)\;$ L'interval $\left[a_{n+1},b_{n+1} \right]\;$ no pot contenir tampoc $u_n\;$ i es verifica la propietat (1). $\left[a_n,b_n \right]\;$ és una successió d'intervals tancats encaixats. La seva intersecció és no buida i per tant conté almenys un element $l\;$. Per acabar, n'hi ha prou amb fixar-se que $l\;$ no és mai un valor de la successió $(u_i)\;$ per als $n\;$ primers valors. Com que $n\;$ és qualsevol, s'ha demostrat la proposició.

Conseqüències

El fet de què els reals tinguin una potència superior a la dels naturals és però més profund que el simple fet que no puguem relacionar ambdós conjunts de manera biunívoca. El fet és que anteriorment s'ha enunciat un lema segons el qual la suma numerable de conjunts numerables és numerable, i per altra banda s'ha dit que el conjunt dels reals està formada per la unió no numerable de conjunts numerables (els naturals); per tant aquí s'observa que en realitat a l'hora de conformar la recta real el que es fa és compactar el conjunt dels naturals per crear densitat numerable, i els forats restants els cobrim amb nombres irracionals, això prova que entre dos nombres irracionals hi ha racionals.

Per tant ja s'ha vist que el nombre infinit no és més que la representació de la potència d'un conjunt infinit, i que aquest pot tenir diferents potències segons a quina mena de conjunt vagi associat.

Matemàtiques sense infinit

Leopold Kronecker rebutjava la idea d'infinit i va començar una escola de pensament, en la filosofia de les matemàtiques anomenada finitisme que va influir en l'escola filosòfica i matemàtica del constructivisme matemàtic.

Infinit en física

En física, es fan servir aproximacions de nombres reals per a càlculs amb quantitats contínues i els nombres naturals es fan servir per a càlculs discrets (per exempte comptar). Però es dóna per suposat per part dels físics que cap magnitud observable pot no pot assolir un valor infinit, per exemple prenent un valor infinit en un sistema de nombres reals estesos (o també en el sistema de nombres hiperreals), o que exigeixi el recompte d'un nombre infinit d'esdeveniments. Se suposa per exemple impossible que qualsevol cos tingui infinita massa o infinita energia. Existeix el concepte d'entitats infinites (com per exemple una ona plana infinita) però no hi ha cap mitjà de generar aquests objectes i es fan servir només com idealitzacions per simplificar els càlculs.

Aquest punt de vista no significa que l'infinit no es pugui fer servir en física. Per motius de conveniència, els càlculs, les equacions, les teories i les aproximacions sovint fan servir sèries infinites, funcions il·limitades, etc., i poden implicar quantitats infinites. Els físics tanmateix exigeixen que el resultat final hagi de ser físicament significatiu. En teoria quàntica de camps sorgeixen infinits i han de ser interpretats per obtenir resultats físicament significatius amb un procés anomenat renormalització.

Tanmateix, hi ha algunes circumstàncies teòriques on el resultat final és infinit. Un exemple és la singularitat en la descripció dels forats negres. Algunes solucions de les equacions de la teoria general de la relativitat permeten distribucions de massa finita però de mida zero, i per tant de densitat infinita. Això és un exemple del què s'anomena una singularitat matemàtica. Això no significa necessàriament que els infinits físics existeixin; pot significar simplement que la teoria sigui incapaç de descriure la situació adequadament. Altres dos exemples es donen en camps de forces que segueixen la llei de la inversa del quadrat: l'equació de la força de la gravetat newtoniana i la llei de Coulomb de l'electrostàtica. A r=0 que aquestes equacions donen infinits.

Infinit en cosmologia

Una qüestió intrigant és si l'infinit existeix en l'univers físic: Hi ha un nombre infinit d'estels? L'univers té volum infinit? L'espaia "continua per sempre"? Això és una qüestió oberta important de cosmologia. Fixeu-vos que la qüestió de ser infinit està, des d'un punt de vista lògic, separada de la pregunta de tenir o no límits. La superfície bidimensional de la Terra, per exemple, és finita, tot i així no té cap límit. Viatjant en "línia recta" (per exemple seguint un meridià) es torna al lloc exacte des del qual s'ha començat. L'univers, com a mínim en principi, podria tenir una topologia similar; si un viatja en línia "recta" a través de l'univers potser finalment retornaria al punt de partida.

Si, d'altra banda, l'univers no es corba com una esfera sinó que té una topologia plana, podria ser tant il·limitat com infinit. La curvatura de l'univers es pot mesurar a traves del moments multipolar en l'espectre de la Radiació còsmica de fons. Fins a la data, l'anàlisi dels diagrames de radiació enregistrats pel satèl·lit de WMAP sembla que l'univers té una topologia plana. Això seria coherent amb un univers físic infinit. S'espera que el satèl·lit Planck planificat per a ser llençat el 2009 enregistri la radiació còsmica de fons amb una precisió deu vegades més alta, i donarà més informació sobre la qüestió tant si l'univers és infinit com si no.

Representació informàtica de l'infinit

L'estàndard IEEE 754 sobre aritmètica de coma flotant especifica valors d'infinit positius i negatius; aquests poden ser el resultat d'un overflow aritmètic, d'una divisió entre zero, o d'altres operacions excepcionals.

Alguns llenguatges de programació (per exemple, J i UNITY (llenguatge de programació) estableixen uns elements màxim i mínim, és a dir valors que són comparativament (respectivament) més gran que o més petits que qualsevol altre valors. També es poden qualificar més infinit o menys infinit; són útils com valors sentinella en algorismes que impliquen ordenació o cerca. En llenguatges que no tenen elements més grans i més petis, però permeten sobrecarregar operadors relacionals, és possible crear elements més grans i més petits (amb petit cost computacional, i el risc d'incompatibilitat entre aplicacions).

Els nombres molt grans

En l'expressió popular, l'adjectiu «infinit» de vegades es fa servir per qualificar extensions molt vastes o quantitats molt grans. Fixeu-vos que fins i tot finits, els nombres molt grans poden ser difícils de concebre. Així les successions de Goodstein són successions definides de forma molt simple que donen lloc a nombres que superen l'enteniment, encara que encara siguin considerablement més petits que aquells engendrats pel castor enfeinat.

Vegeu també

• Asímptota
• Infinitesimal
• Límit
• Nombres infinits
• Paradoxa sobre l'hotel infinit

Bibliografia

• Amir D. Aczel. The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. New York: Pocket Books, 2001. ISBN 0-7434-2299-6. 
• D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
• L. C. Jain. Exact Sciences from Jaina Sources, 1982. 
• L. C. Jain (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
• George G. Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 2nd edition. Penguin Books, 2000. ISBN 0-14-027778-1. 
• Eli Maor. To Infinity and Beyond. Princeton University Press, 1991. ISBN 0-691-02511-8. 
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Rudy Rucker. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press, 1995. ISBN 0-691-00172-3. 
• N. Singh (1988). 'Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers', Journal of Asiatic Society, Vol. 30.
• David Foster Wallace. Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W. W. & Company, Inc., 2004. ISBN 0-393-32629-2. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Infinit

• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets, by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
• Infinite Reflections, by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59.
• Infinity, Principia Cybernetica
• Source page on medieval and modern writing on Infinity
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)