3-varietat

A topologia de dimensions baixes les 3 - varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir espais de Hausdorff que són localment homeomorfs a l'espai euclidià $\mathbb{R}^3$.

Se sap que en les categories topològica, diferenciable i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, així que poca distinció es presta a que categoria s'està usant.

Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat és, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.

Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en ells. Això condueix a la idea de superfície incompressible ( incompressible surface ) i la teoria de varietats de Haken, o un pot triar de tal manera que les peces complementàries són menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també anomenades descomposicions de Heegaard.

Exemples sense frontera

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: Un primer exemple, la 3-esfera $S^3\,$. Un altre més és el espai projectiu $\mathbb{R}P^3$. És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:

$S^2\times S^1$

$\mathbb{R}P^2\times S^1$

$T\times S^1$

$K\times S^1$

O bé fibrat s de la manera $S^1\subset E\to\Sigma$, on $\Sigma$ és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert . Indispensables per entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.

També tenim els fibrats de les manera $F\subset E\to S^1$, sent $F$ una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

Exemples amb frontera

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària $D^3\,$ o el toro sòlid $D^2\times S^1$, les fronteres són les 2 - esfera i el toro, respectivament. La ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.

També hi ha tots els fibrats de la forma

$I\subset E\to F$ (I-bundles)

on $I$ és un interval i $F$ una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre la ampolla de Klein, $K\stackrel{\sim}\times I/O$, que és el $I$-bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba $(2,1)\,$ dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera, $\partial (K\stackrel{\sim}\times I/O)$, és un bou $S^1\times S^1$. A més $K\stackrel{\sim}\times I/O$ correspon a $M\ddot{o}\stackrel{\sim}\times S^1$.

Un altre exemple és el producte cartesià $M\ddot{o}\times S^1$ de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és $T\stackrel{\sim}\times I$ i és diferent a $K\stackrel{\sim}\times I/O$.

També la frontera $\partial (M\ddot{o}\times S^1)$ és $(\partial M\ddot{o})\times S^1$, la qual qual, també és un bou $S^1\times S^1$.

Tipus de 3-varietats

• Complements de nusos i enllaços (knots and links)
• Fibrat de Seifert, fibrat clàssic de Seifert. Fibrat de Scott
• Espais tipus lent (lens spaces)
• Fibrat de superfície (surface bundles) sobre el cercle
• Varietats de Haken
• Graph manifolds
• Esferes homològiques.

Resultats Fonamentals

• Teorema de Descomposició Prima 283-manifold% 29
• Teorema de Moise
• Descomposició de JSJ [1]
• Teoremes del Llaç i l'Esfera 283-manifolds% 29 (que generalitzen el Lema de Dehn).
• Teorema de geometrització per varietats de Haken
• Teorema de Lickorish-Wallace

Problemes famosos

• Conjectura de Poincaré
• Geometrització de Thurston 27s_geometrization_conjecture
• Conjectura de la fibración virtual.
• Conjectura de ser virtualment Haken.

Referències

• J. Hempel. 3-manifolds . Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
• D. Rolfsen Knots and Links . Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca: Publish Perish, Inc 1976.
• A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds . Qui està en línia disponible a [2]