3-varietat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A topologia de dimensions baixes les 3 - varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir espais de Hausdorff que són localment homeomorfs a l'espai euclidià \mathbb{R}^3 .

Se sap que en les categories topològica, diferenciable i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a que categoria s'està usant.

Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat és, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.

Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en ells. Això condueix a la idea de superfície incompressible ( incompressible surface ) i la teoria de varietats de Haken, o un pot triar de tal manera que les peces complementàries són menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també anomenades descomposicions de Heegaard.


Exemples sense frontera[modifica | modifica el codi]

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: Un primer exemple, la 3-esfera  S^3\, . Un altre més és l'espai projectiu \mathbb{R}P^3 . És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:

 S^2\times S^1
\mathbb{R}P^2\times S^1
 T\times S^1
 K\times S^1

O bé fibrat s de la manera  S^1\subset E\to\Sigma , on \Sigma és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert . Indispensables per entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.

També tenim els fibrats de les manera  F\subset E\to S^1 , sent  F una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

Exemples amb frontera[modifica | modifica el codi]

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària  D^3\, o el toro sòlid  D^2\times S^1 , les fronteres són les 2 - esfera i el toro, respectivament. L'ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.

També hi ha tots els fibrats de la forma

 I\subset E\to F (I-bundles)

on  I és un interval i  F una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre l'ampolla de Klein,  K\stackrel{\sim}\times I/O , que és el  I -bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba  (2,1)\, dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera, \partial (K\stackrel{\sim}\times I/O) , és un bou  S^1\times S^1 . A més  K\stackrel{\sim}\times I/O correspon a  M\ddot{o}\stackrel{\sim}\times S^1 .

Un altre exemple és el producte cartesià  M\ddot{o}\times S^1 de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és  T\stackrel{\sim}\times I i és diferent a  K\stackrel{\sim}\times I/O .

També la frontera \partial (M\ddot{o}\times S^1) és  (\partial M\ddot{o})\times S^1 , la qual qual, també és un bou  S^1\times S^1 .

Tipus de 3-varietats[modifica | modifica el codi]

Resultats Fonamentals[modifica | modifica el codi]

  • Teorema de Descomposició Prima[1]
  • Teorema de Moise
  • Descomposició de JSJ[2]
  • Teoremes del Llaç i l'Esfera[3] (que generalitzen el Lema de Dehn).
  • Teorema de geometrització per varietats de Haken
  • Teorema de Lickorish-Wallace

Problemes famosos[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • J. Hempel. 3-manifolds . Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
  • D. Rolfsen Knots and Links . Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca: Publish Perish, Inc 1976.
  • A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds . Que està en línia disponible en aquest enllaç