Alabeig seccional

L'alabeig unitari o alabeig seccional és una funció ω (y, z ) que prediu la forma deformada de la secció transversal d'un prisma mecànic i que defineix diverses característiques geomètriques importants relacionades amb el càlcul de tensions en cas de flexió, torsió i tallant combinats. Aquest alabeig unitari té dimensions de longitud al quadrat (L²).

Equació d'alabeig unitari

Per a un prisma mecànic de secció constant A, el alabeig unitari és una funció $\omega (y, z)\;$ definida sobre aquesta secció transversal, que és solució del següent problema de Von Neumann:

(1) $\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left[(y-y_C)^2+(z-z_C)^2 \right] & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}$

On:

$\bar{s}$ és la longitud al llarg del contorn de la peça i $\mathbf{n}$ la normal exterior al mateix.

$(y_C, z_C)\;$ són les coordenades del centre de tallant.

Deducció de l'equació d'alabeig

En el problema de torsió pura de Saint-Venant per a una peça prismàtica la hipòtesi cinemàtica porta a que els desplzamientos estan relacionats amb els girs de l'eix baricentre al voltant de si mateix per la següent condició:

(2) $\begin{Bmatrix} u_x(x,y,z) \\ u_y(x,y,z) \\ u_z(x,y,z) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega(y,z) & 0 \\ 0 & -z+z_C \\ 0 & y-y_C \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix}$

Calculant a partir d'ells les deformacions i aplicant després les equacions de Lame-Hooke s'arriba a que la relació entre tensions i girs sobre l'eix són:

(3) $\begin{cases} \sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\ \sigma_{xy} = G\left[{\part u_x \over \part y} + {\part u_y \over \part x}\right] = G\left[\frac{\part\omega}{\part y}-\left(z-z_C\right) \right]\frac{d\theta_x}{ds}\\ \sigma_{xz} = G\left[{\part u_x \over \part z} + {\part u_z \over \part x}\right] = G\left[\frac{\part\omega}{\part z} +\left(y-y_C\right) \right]\frac{d\theta_x}{ds} \end{cases}$

L'equilibri de forces sobre l'eix longitudinal de la peça prismàtica o biga requereix que:

(4) $\frac{\part\sigma_{XX}}{\part x}+\frac{\part\sigma_{xy}}{\part y}+\frac{\part\sigma_{xz}}{\part z}= 0$

On s'han substiuyendo les equacions(3)a(4)s'arriba precisament a l'equació del alabeig unitari(1).

Solució per l'equació d'alabeig unitari

Es pot demostrar que la solució de l'anterior equació es pot trobar fàcilment introduint una funció d'alabeig auxiliar relacionada amb l'anterior i amb les coordenades ( i _C , z _C ) de l' centre de tallant. La funció auxiliar $\omega_0 (x, y)\;$ satisfà l'equació:

$\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega_0 = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left(y^2+z^2 \right) & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}$

En termes d'aquesta funció auxiliar es poden trobar tant la funció d'alabeig com les coordenades del centre de tallant:

$\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2}$

On $I_y, I_z, I_{yz}\,$ són els moments d'àrea i el producte d'inèrcia. I on $I_{i\bar\omega}, I_{z\bar\omega}\,$ són els productes d'inèrcia sectorials definits com:

$I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz$

Exemples de Curvatura seccionals

En general, si una secció no és circular o circular buida presentarà alabeig seccional diferent de zero. Això pot provar rigorosament calculant el alabeig seccional d'una secció líptica, que depèn de la diferència de quadrats de les longituds dels semieixos, si aquests són iguals com passa en en un cercle la funció d'alabeig s'anul.

En el cas general la secció d'alabeig és complicada i requereix resoldre un problema de Von Neumann. Per a alguns casos senzills quan la secció és massissa i el contorn ve expressat per una funció de tipus f ( y, z ) = 0 sent el laplacià d ' f constant el problema de buscar la funció d'alabeig pot simplificar notablement mitjançant la funció de Prandtl, ja que aquesta funció només cal trobar una funció de Prandtl que s'anul·li sobre el contorn. Això és precisamenet el que passa amb la seccions líptica i triangular, però amb seccions més complicades com una secció rectangular el càlcul és més complicat.

Curvatura unitària d'una secció triangular

En una secció triangular equilàtera qualsevol de les tres altures del triangle constitueix un eix de simetria, de manera que per a una secció triangular equilàtera el centre de tallant coincideix amb el centre geomètric o baricentre del triangle. La funció d'alabeig considerant coordenades ( y, z ) amb l'origen de coordenades sobre el centre geomètric ve donada per:

$\omega(y,z) = -\frac{3z^2y-y^3}{2h}$

On hem considerat que un dels costats és paral·lel a l'eix Y, i h és l'alçada del triangle.

Curvatura unitària d'una secció líptica

En una secció el·líptica hi ha dos eixos de simetria, el semieix major i el semieix menor, la qual cosa implica que el centre de tallant coincideixi amb el centre geomérico de la secció. Prenent coordenades de la secció ( y, z ) amb origen al centre geomètric de la secció la funció d'alabeig unitari la funció d'alabeig unitari ve litat per:

$\omega (y, z) = -\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}yz$

On a i b són, respectivament, les longituds del semieix major i el semieix menor de la lipse. Es pot veure que en el cas particular d'un cercle de radi r (on a = b = r ) el alabeig seccional unitari és nul, d'acord amb la teoria de la torsió de Saint-Venant per a seccions circulars.

Curvatura unitària d'una secció rectangular

En una secció rectangular, on el centre de tallant coincideix amb centre geomètric, la funció d'alabeig pot calcular en termes de la funció de Prandtl que al seu torn pot obtenir per integració de Laplace mitjançant separació de variables:

$\begin{cases} \cfrac{\part \omega}{\part y} = z+\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part z} = z + \cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^2} \left( \cfrac{\sinh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}} \right) \cos \frac{(2k+1)\pi y}{b} \right] \\ \cfrac{\part \omega}{\part z} = -y-\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part y} = -y + \cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} \left(1-\cfrac{\cosh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}}\right)\sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}\right] \end{cases}$

Moment d'alabeig

El moment d'alabeig és la magnitud definida per la següent integral:

$I_\omega = \int_A \omega^2(y,z)\ dydz$

Per a una secció I o H el mòdul d'alabeig ve donat per:

$I_\omega = \frac{h^2I_{min}}{4}$

On h denota l'alçada total del perfil i I _min al moment d'inèrcia mínim.

Referències

Bibliografia

• Ortiz Berrocal, L., Elasticitat , McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.
• Monleón Cremades, S., Anàlisi de bigues, arcs, plaques i làmines , Ed UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Enllaços externs

• (anglès) Anàlisi d'alabeig seccional (Wolfram Applications)