Algorisme de Borwein

L'algorisme de Borwein es un algorisme desenvolupat per Jonathan i Peter Borwein que permet el calcul de 1/π.

Es procedeix de la forma següent:

Es comença amb els valors

$a_0 = 6 - 4\sqrt{2}$

$y_0 = \sqrt{2} - 1$

Després s'itera amb les formules següents

$y_{k+1} = \frac{1-(1-y_k^4)^{1/4}}{1+(1-y_k^4)^{1/4}}$

$a_{k+1} = a_k(1+y_{k+1})^4 - 2^{2k+3} y_{k+1} (1 + y_{k+1} + y_{k+1}^2)$

_k posseeix una convergència quártica 1/π; es a dir, en cada iteració es multiplica per quatre, aproximadament, el nombre de dígits correcte.

El grau de convergència s'obté de la següent desigualtat:

$\left|\frac{1}{\pi}-a_n\right| <= 16 \; (4^n) (e^{-2\pi4^n})$