Ampolla de Klein

Immersió d'una ampolla de Klein en un espai euclidià tridimensional.

En topologia, una ampolla de Klein és una superfície (una varietat topològica bidimensional) no orientable en què no existeix diferència entre la cara interior i l'exterior, ja que l'espai que envolta els dos costats de la superfície és el mateix, i té la característica d'Euler igual a 0. A diferència d'una cinta de Möbius, superfície que tampoc és orientable, una ampolla de Klein no té vores ni fronteres. No en té tampoc l'esfera, però sí que és orientable.

L'ampolla de Klein va ser descrita per primera vegada l'any 1882 pel matemàtic alemany Felix Klein. El seu cognom és l'origen del nom de l'objecte matemàtic.

Un espai euclidià de tres o menys dimensions no pot contenir l'ampolla de Klein, i per això és un objecte que no es pot construir a l'espai físic. Tot i això, se'n solen fer representacions tridimensionals mitjançant una immersió. D'aquesta manera s'obté una superfície que s'interseca amb si mateixa, com la que es mostra a la imatge de la dreta. En realitat, l'ampolla de Klein no s'interseca amb si mateixa, sinó que és localment homeomorfa a $\mathbb{R}^2$.

Definició

Polígon fonamental de l'Ampolla de Klein.

Una ampolla de Klein és el conjunt quocient d'un quadrat [0,1] × [0,1] amb els costats identificats per les relacions d'equivalència (0, y) ~ (1, y) per 0 ≤ y ≤ 1 i (x, 0) ~ (1 − x, 1) per 0 ≤ x ≤ 1. Aquest quadrat és el polígon fonamental de l'ampolla de Klein.

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Ampolla de Klein