Angle inscrit

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria, un angle inscrit és el angle comprès entre dues cordes (o una secant i una tangent en el cas degenerat, anomenat semi- inscrit ), que s'intersequen a la circumferència. És a dir, és l'angle definit per dues cordes que comparteixen un extrem.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Mentre que un angle central té una amplitud  \theta igual a la de l'arc que abasta, la de l'angle inscrit és la meitat de la porció de circumferència en el seu interior,  \theta/2 .

Entre altres resultats, aquesta propietat permet demostrar que els angles oposats d'un quadrilàter cíclic són suplementaris, i que quan dues cordes  a ,  b s'intersequen a l'interior del cercle, el producte de la longitud dels seus segments és el mateix  a_1 \cdot a_2 = b_1 \cdot b_2 .

Demostració[modifica | modifica el codi]

Per entendre la prova, és útil dibuixar un diagrama com els de les figures.

Angle inscrit on una corda és un diàmetre[modifica | modifica el codi]

Angle inscrit  \alpha i arc  \theta

Siguin  o al centre d'un cercle,  u i  v dos punts en la circumferència, i  w l'altre extrem de la corda que passa per  u i  o . Sigui  \theta l'amplitud de l'arc comprès entre les secants  \bar{uv} i  \bar{uw}, i  \alpha el seu angle inscrit.

L'angle central  \angle wov , també té amplitud  \theta i és suplementari de  \angle VOU = \beta . Per tant  \theta+\beta = 180 °.

Com el triangle  \triangle Va tenir té dos costats amb longitud igual al radi ( \bar{oo} i  \bar{lectiu}), és isòsceles, per la qual cosa  \angle Va tenir = \alpha . Atès que la suma dels angles interns d'un triangle és 180 °, hem de  2 \alpha+\beta = 180 , però  \beta = 180 - \theta , de manera que  2 \alpha+180 - \theta = 180 , o el que és equivalent,  2 \alpha = \theta .

Per tant, l'angle inscrit  \alpha té la meitat de l'amplitud de la porció de cercle en el seu interior  \theta ,  \alpha = \frac{\theta}{2}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]