Aplicació lineal

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions

Sigui $f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F$ una aplicació on $\mathbf E$ i $\mathbf F$ són dos $\mathbb K$-espais vectorials.

$\,f$ és una aplicació lineal (o un morfisme de $\mathbb K$-espais vectorials) si: $f(x+y)=f(x)+f(y), \; \forall x, y\in E$ $f(\lambda\cdot x)=\lambda \cdot f(x), \; \forall \lambda \in \mathbb K, \; \forall x\in E$

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats

Si $f:\mathbf E \rightarrow \mathbf F$ és una aplicació lineal, $\forall x,y \in \mathbf E$, i $\forall a,b \in \mathbb K$ es compleix:

• $f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,$
• $f\left(\sum_{i=1}^m a_ix_i\right)=\sum_{i=1}^m a_if(x_i)$
• $f(\vec 0)=\vec 0$
• $f(-x)=-f(x)\,$
• Si $g:\mathbf F \rightarrow \mathbf G$ també és una aplicació lineal, aleshores:$g\circ f: \mathbf E \rightarrow \mathbf G$, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge

Sigui $f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F$

• S'anomenarà nucli de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf E$

$Nuc f=\left\{x\in \mathbf E|f(x)=0\right\}$

• S'anomenarà imatge de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf F$

$Im f=\left\{y \in \mathbf F|\exist x\in \mathbf E , y=f(x)\right\}$

Teorema del rang

$dim(Nuc f) + dim(Im f)=dim (\mathbf E)$

Teorema d'isomorfisme

$Im f \cong \mathbf E/Nuc f$

Matriu associada a una aplicació lineal

Siguin $\mathbf E$ i $\mathbf F$ dos espais vectorials de dimensió finita, $\{u_1, \dots, u_n\}$ i $\{v_1, \dots, v_m\}$ les seves respectives bases i $f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F$ una aplicació lineal, $\ f$ queda definida si es coneixen les coordenades de $f(u_1), \dots, f(u_n)$ en la base de $\mathbf F$:

$f(u_i)=\sum_{j=1}^m \lambda_i^jv_j, i=1, \dots, n$

$\ A$ S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal $\ f$ en les bases $\{u_1, \dots, u_n\}$ i $\{v_1, \dots, v_m\}$

$A=\begin{pmatrix} \lambda_1^1 & \cdots & \lambda_n^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^m & \cdots & \lambda_n^m \end{pmatrix}$

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de l' imatge d'un vector:

$w \in \mathbf E =\sum_{i=1}^n w_i u_i$

$\ f(w) \in F = f(\sum_{i=1}^n w_i u_i)=\sum_{i=1}^n w_i (\sum_{j=1}^m \lambda_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m (\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i) v_j$

Les coordenades de $\ f(w)$ en la base $\{v_1, \dots, v_m\}$ de $\mathbf F$ són:

$\bar{w_j}=\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i, i=1, \dots, m$

$\Rightarrow \bar{w}=A \cdot w$

Composició d'aplicacions lineals

Donades dues aplicacions lineals $f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F$ i $g: \mathbf F \rightarrow \mathbf G$ (on $\{u_1, \dots, u_n\}$, $\{v_1, \dots, v_m\}$ i $\{w_1, \dots, w_s\}$ són les bases de $\mathbf E$, $\mathbf F$ i $\mathbf G$) amb $\ A$ i $\ B$ com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu $C = B \cdot A$ és la matriu associada a l'aplicació $f \circ g$

Demostració

$\left. \begin{matrix} f(u_i)=\sum_{j=1}^m a_i^j v_j \\ g(v_j)=\sum_{k=1}^s b_j^k w_k \end{matrix} \right\} \Rightarrow g \circ f(u_i)=g(f(u_i))=g(\sum_{j=1}^m a_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j g(v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j(\sum_{k=1}^s b_j^k w_k)=\sum_{k=1}^s(\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k)w_k \Rightarrow$

$C_i^k=\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k$

$(C = B \cdot A)$

Canvi de base

Sigui $f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F$ una aplicació lineal amb la matriu $\ A$ respecte a les bases $\{u_1, \dots, u_n\}$ i $\{v_1, \dots, v_m\}$ de $\mathbf E$ i $\mathbf F$ i la matriu $\ B$ respecte a les bases $\{u_1', \dots, u_n'\}$ i $\{v_1', \dots, v_m'\}$ es pot escriure $\text {f}\;$ com la següent composició

$B=Q \cdot A \cdot P$

on $\ P$ és la matriu del canvi de base de $\{u_i'\}\;$ a $\{u_i\}\;$ i $\ Q$ és la matriu del canvi de base de $\{v_j\}\;$ a $\{v_j'\}\;$.

L'espai dual

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de $\mathbf E$ a $\mathbb{R}$.

$\mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}$

Les aplicacions lineals a $\mathbb{R}$ s'anomenen formes , i a l'espai $\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)=\mathbf{E^*}$ se l'anomena espai dual de $\mathbf{E}$, on $\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)$ és el conjunt de totes les aplicacions lineals de $\mathbf E$ a $\mathbb R$.

$\mathbf{E^*}$ és un espai vectorial de la mateixa dimenió que $\mathbf{E}$ (si $\mathbf{E}$ té dimensió finita):

$dim \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)= dim \mathbf E \cdot \underbrace{dim \mathbb R}_\text{1} = dim \mathbf E$

$\Rightarrow dim \mathbf{E^*}=dim \mathbf{E}$

Donada una base de $\mathbf E = \{u_1,...,u_n\}$, les aplicacions:

$u_i':$	$\mathbf E \rightarrow \mathbb R$
	$u_j \mapsto 0$	${si}~j \ne i$
	$u_j \mapsto 1$	${si}~j = i$

$u_i^'(u_j)= \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1&\mbox {si}&i=j\\ 0&\mbox {si}& i\ne j\end{matrix}\right.$

On $u_i'$ és l'aplicació, $u_j$ és l'element i $\delta_{ij}$ és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions $\{u_i'\} (i=1,...,n)$ formen una base de $\mathbf E^*$ que s'anomena base dual de $\{u_1,...,u_n\}$.

Observació

Suposem que $\{u_1,...,u_n\}$ i $\{v_1,...,v_n\}$ són bases diferents de $\mathbf E$ amb algun vector en comú (suposem que $u_1 = v_1$), aleshores, en les dues bases duals $\{u_1',...,u_n'\}$ i $\{v_1',...,v_n'\}$, $u_1'$ i $v_1'$ no tenen perquè ser iguals.

Proposició

Sigui $\{u_1,...,u_n\}$ una base de $\mathbf E$ i $\{u_1',...,u_n'\}$ la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol $\omega \isin \mathbf E^*$ en la base $\{u_1',...,u_n'\}$ són $( \omega (u_1),..., \omega (u_n))$.

$\omega:$	$\mathbf E \rightarrow \mathbb R$
	$u_1 \mapsto \omega (u_1)$
	$u_j \mapsto \omega (u_2)$
	$\vdots$
	$u_n \mapsto \omega (u_n)$

$\omega = \alpha_1 u_1' +,,,+\alpha_n u_n' ~~~~~~~~~~ \alpha_i = \omega (u_i)~~~ i = 1,...,n$

$\Rightarrow \omega = \omega (u_1) \cdot u_1' +...+ \omega (u_n) \cdot u_n'$

$\omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i'$

Demostració

Per tot vector $u_k$ de la base de $\mathbf E$ tenim: $\bigg( \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i' \bigg) (u_k) = \sum_{i=1}^{n} \omega(u_i)\cdot u_i' (u_k) = \omega (u_1) \cdot \underbrace{u_1' (u_k)}_\text{0} +...+ \omega (u_k) \cdot \underbrace{u_k' (u_k)}_\text{1}+...+ \omega (u_n) \cdot \underbrace{u_n' (u_k)}_\text{0} = \omega(u_k)$

$\Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i'$

Aplicacions duals

Fixada una aplicació lineal $f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F$ i $\mathbf F^* = \mathcal{L}(\mathbf F,\mathbb R)$, al compondre un element $\omega \isin \mathbf F^*$ amb $f$, obtenim un element $\omega \circ f \isin \mathbf E^*$:

Per tant, existeix una aplicació $f'$ que designarem per aplicació dual de $f$:

$\begin{matrix} f': & \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^* \\ & \omega \mapsto \omega \circ f \end{matrix}$

i té les següents propietats:

• Lineal:

$f' (\omega +v)=(\omega +v) \circ f = (\omega \circ f)+(v \circ f)=f' (\omega) + f'(v)$

$f' (\lambda \omega)=(\lambda \omega) \circ f = \lambda (\omega \circ f)= \lambda f' (\omega)$

• $(g \circ f)' = f' \circ g'$:

$(g \circ f)' (\omega)= \omega \circ (g \circ f)=(\omega \circ g) \circ f=f' (\omega \circ g)=f'(g'(\omega))=f' \circ g'(\omega)$

Relació entre matrius

• $f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F$ té per matriu associada $A=(a_{i}^{j})$ en les bases $\{u_1,...,u_n\}$ i $\{v_1,...,v_m\}$ de $\mathbf E$ i $\mathbf F$ respctivament.
• $f': \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^*$ tindrà una matriu associada $B=(b_{i}^{j})$ en les dues bases duals $\{v_1,...,v_m\}$ i $\{u_1,...,u_n\}$ de $\mathbf F^*$ i $\mathbf E^*$ respctivament.

Proposició

La matriu de l'aplicació dual $f'$ en les bases duals és la matriu transposada de $A$.

$B=(b_{i}^{j})=(a_{j}^{i})=A^t$

Demostració

$b_{i}^{j} =(f'(v_i'))(u_j)=(v_i' \circ f)(u_j)=v_i' (f(u_j))=v_i' (\sum_{k=1}^{m} a_{j}^{k} v_k)= \sum_{k=1}^{m} a_j^k v_i' (v_k)=a_j^1 \underbrace{v_i' (v_1)}_\text{0}+...+a_j^i \underbrace{v_i' (v_i)}_\text{1}+...+a_j^m \underbrace{v_i' (v_m)}_\text{0}=a_j^i$ $\Rightarrow b_i^j =a_j^i \Rightarrow B=A^t$

Vegeu també

• funció lineal
• Àlgebra lineal
• Estructura lineal dual
• Forma lineal

Bibliografia

• Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Àlgebra lineal i geometria. Universitat Autònoma de Barcelona, 2005. ISBN 84-7488-943-X.