Aplicació lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Sigui f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F una aplicació on \mathbf E i \mathbf F són dos \mathbb K-espais vectorials.

\,f és una aplicació lineal (o un morfisme de \mathbb K-espais vectorials) si:

  • f(x+y)=f(x)+f(y), \; \forall x, y\in E
  • f(\lambda\cdot x)=\lambda \cdot f(x), \; \forall \lambda \in \mathbb K, \; \forall x\in E

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Si f:\mathbf E \rightarrow \mathbf F és una aplicació lineal, \forall x,y \in \mathbf E, i \forall a,b \in \mathbb K es compleix:

  • f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,
  • f\left(\sum_{i=1}^m a_ix_i\right)=\sum_{i=1}^m a_if(x_i)
  • f(\vec 0)=\vec 0
  • f(-x)=-f(x)\,
  • Si g:\mathbf F \rightarrow \mathbf G també és una aplicació lineal, aleshores:g\circ f: \mathbf E \rightarrow \mathbf G, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge[modifica | modifica el codi]

Sigui f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F

Nuc f=\left\{x\in \mathbf E|f(x)=0\right\}
Im f=\left\{y \in \mathbf F|\exist x\in \mathbf E, y=f(x)\right\}

Teorema del rang[modifica | modifica el codi]

\dim(Nuc f) + \dim(Im f)=\dim (\mathbf E)

Teorema d'isomorfisme[modifica | modifica el codi]

Im f \cong \mathbf E/Nuc f

Matriu associada a una aplicació lineal[modifica | modifica el codi]

Siguin  \mathbf E i  \mathbf F dos espais vectorials de dimensió finita, \{u_1, \dots, u_n\} i \{v_1, \dots, v_m\} les seves respectives bases i f:\mathbf E\rightarrow 
\mathbf F una aplicació lineal, \ f queda definida si es coneixen les coordenades de f(u_1), \dots, f(u_n) en la base de \mathbf F:

f(u_i)=\sum_{j=1}^m \lambda_i^jv_j, i=1, \dots, n

 \ A S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal  \ f en les bases \{u_1, \dots, u_n\} i \{v_1, \dots, v_m\}

A=\begin{pmatrix}
\lambda_1^1 & \cdots & \lambda_n^1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1^m & \cdots & \lambda_n^m \end{pmatrix}

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

w \in \mathbf E =\sum_{i=1}^n w_i u_i
\ f(w) \in F = f(\sum_{i=1}^n w_i u_i)=\sum_{i=1}^n w_i (\sum_{j=1}^m \lambda_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m (\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i) v_j

Les coordenades de \ f(w) en la base \{v_1, \dots, v_m\} de \mathbf F són:

\bar{w_j}=\sum_{i=1}^n \lambda_i^j w_i, i=1, \dots, m
\Rightarrow \bar{w}=A \cdot w

Composició d'aplicacions lineals[modifica | modifica el codi]

Donades dues aplicacions lineals f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F i g: \mathbf F \rightarrow \mathbf G (on \{u_1, \dots, u_n\}, \{v_1, \dots, v_m\} i \{w_1, \dots, w_s\} són les bases de \mathbf E, \mathbf F i \mathbf G) amb \ A i \ B com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu C = B \cdot A és la matriu associada a l'aplicació f \circ g


Demostració[modifica | modifica el codi]

\left. \begin{matrix} f(u_i)=\sum_{j=1}^m a_i^j v_j \\ g(v_j)=\sum_{k=1}^s b_j^k w_k \end{matrix} \right\} \Rightarrow g \circ f(u_i)=g(f(u_i))=g(\sum_{j=1}^m a_i^j v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j g(v_j)=\sum_{j=1}^m a_i^j(\sum_{k=1}^s b_j^k w_k)=\sum_{k=1}^s(\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k)w_k \Rightarrow
C_i^k=\sum_{j=1}^m a_i^j b_j^k
(C = B \cdot A)


Canvi de base[modifica | modifica el codi]

Sigui f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F una aplicació lineal amb la matriu \ A respecte a les bases \{u_1, \dots, u_n\} i \{v_1, \dots, v_m\} de \mathbf E i \mathbf F i la matriu \ B respecte a les bases \{u_1', \dots, u_n'\} i \{v_1', \dots, v_m'\} es pot escriure \text {f}\; com la següent composició

B=Q \cdot A \cdot P

on \ P és la matriu del canvi de base de \{u_i'\}\; a \{u_i\}\; i \ Q és la matriu del canvi de base de \{v_j\}\; a \{v_j'\}\;.

L'espai dual[modifica | modifica el codi]

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de \mathbf E a \mathbb{R}.

\mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}

Les aplicacions lineals a \mathbb{R} s'anomenen formes, i a l'espai \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)=\mathbf{E^*} se l'anomena espai dual de \mathbf{E}, on \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R) és el conjunt de totes les aplicacions lineals de \mathbf E a \mathbb R.

\mathbf{E^*} és un espai vectorial de la mateixa dimenió que \mathbf{E} (si \mathbf{E} té dimensió finita):

\dim \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb R)= \dim \mathbf E \cdot \underbrace{\dim \mathbb R}_\text{1} = \dim \mathbf E
\Rightarrow \dim \mathbf{E^*}=\dim \mathbf{E}

Donada una base de \mathbf E = \{u_1,...,u_n\}, les aplicacions:

u_i': \mathbf E \rightarrow \mathbb R
u_j \mapsto 0  {si}~j \ne i
u_j \mapsto 1  {si}~j = i

u_i^'(u_j)= \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1&\mbox {si}&i=j\\ 0&\mbox {si}& i\ne j\end{matrix}\right.

On u_i' és l'aplicació, u_j és l'element i \delta_{ij} és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions \{u_i'\} (i=1,...,n) formen una base de \mathbf E^* que s'anomena base dual de \{u_1,...,u_n\}.

Observació[modifica | modifica el codi]

Suposem que \{u_1,...,u_n\} i \{v_1,...,v_n\} són bases diferents de \mathbf E amb algun vector en comú (suposem que u_1 = v_1), aleshores, en les dues bases duals \{u_1',...,u_n'\} i \{v_1',...,v_n'\}, u_1' i v_1' no tenen per què ser iguals.

Proposició[modifica | modifica el codi]

Sigui \{u_1,...,u_n\} una base de \mathbf E i \{u_1',...,u_n'\} la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol  \omega \isin \mathbf E^* en la base \{u_1',...,u_n'\} són ( \omega (u_1),..., \omega (u_n)).

\omega: \mathbf E \rightarrow \mathbb R
u_1 \mapsto \omega (u_1)
u_j \mapsto \omega (u_2)
\vdots
u_n \mapsto \omega (u_n)

 \omega = \alpha_1 u_1' +,,,+\alpha_n u_n' ~~~~~~~~~~ \alpha_i = \omega (u_i)~~~ i = 1,...,n

 \Rightarrow \omega = \omega (u_1) \cdot u_1' +...+ \omega (u_n) \cdot u_n'

\omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i'

Demostració[modifica | modifica el codi]

Per tot vector u_k de la base de \mathbf E tenim: \bigg( \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i' \bigg) (u_k) = \sum_{i=1}^{n} \omega(u_i)\cdot u_i' (u_k) = \omega (u_1) \cdot \underbrace{u_1' (u_k)}_\text{0} +...+ \omega (u_k) \cdot \underbrace{u_k' (u_k)}_\text{1}+...+ \omega (u_n) \cdot \underbrace{u_n' (u_k)}_\text{0} = \omega(u_k)

 \Rightarrow \omega = \sum_{i=1}^{n} \omega (u_i) \cdot u_i'

Aplicacions duals[modifica | modifica el codi]

Fixada una aplicació lineal  f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F i  \mathbf F^* = \mathcal{L}(\mathbf F,\mathbb R), al compondre un element \omega \isin \mathbf F^* amb f, obtenim un element  \omega \circ f \isin \mathbf E^* :

Aplicació dual


Per tant, existeix una aplicació  f' que designarem per aplicació dual de f:

\begin{matrix} f': & \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^* \\ & \omega \mapsto \omega \circ f \end{matrix}

i té les següents propietats:

  • Lineal:
 f' (\omega +v)=(\omega +v) \circ f = (\omega \circ f)+(v \circ f)=f' (\omega) + f'(v)
f' (\lambda \omega)=(\lambda \omega) \circ f = \lambda (\omega \circ f)= \lambda f' (\omega)
  • (g \circ f)' = f' \circ g':
(g \circ f)' (\omega)= \omega \circ (g \circ f)=(\omega \circ g) \circ f=f' (\omega \circ g)=f'(g'(\omega))=f' \circ g'(\omega)

Relació entre matrius[modifica | modifica el codi]

  • f: \mathbf E \rightarrow \mathbf F té per matriu associada A=(a_{i}^{j}) en les bases \{u_1,...,u_n\} i \{v_1,...,v_m\} de \mathbf E i \mathbf F respctivament.
  • f': \mathbf F^* \rightarrow \mathbf E^* tindrà una matriu associada B=(b_{i}^{j}) en les dues bases duals \{v_1,...,v_m\} i \{u_1,...,u_n\} de \mathbf F^* i \mathbf E^* respctivament.

Proposició[modifica | modifica el codi]

La matriu de l'aplicació dual f' en les bases duals és la matriu transposada de A.

B=(b_{i}^{j})=(a_{j}^{i})=A^t

Demostració[modifica | modifica el codi]

b_{i}^{j} =(f'(v_i'))(u_j)=(v_i' \circ f)(u_j)=v_i' (f(u_j))=v_i' (\sum_{k=1}^{m} a_{j}^{k} v_k)= \sum_{k=1}^{m} a_j^k v_i' (v_k)=a_j^1 \underbrace{v_i' (v_1)}_\text{0}+...+a_j^i \underbrace{v_i' (v_i)}_\text{1}+...+a_j^m \underbrace{v_i' (v_m)}_\text{0}=a_j^i \Rightarrow b_i^j =a_j^i \Rightarrow B=A^t

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]