Apotema

Apotema d'un hexàgon

L'apotema d'un polígon regular és un segment que va des del centre del polígon al punt mitjà d'un dels seus costats. O definit de manera equivalent, és el segment traçat des del centre del polígon que és perpendicular a un dels seus costats. La paraula "apotema" també es pot referir a la longitud d'aquest segment. Només els polígons que són regulars poden tenir apotemes. Per això, tots els apotemes d'un polígon són congruents i tenen la mateixa longitud.

Per a una piràmide regular, que és una piràmide que té de base un polígon regular, l'apotema és l'altura inclinada d'una cara lateral, és a dir, la distància més curta de l'àpex a la base d'una cara determinada. Per a una piràmide regular truncada (una piràmide regular amb alguns dels seus pics eliminat per un pla paral·lel a la base), l'apotema és l'alçada d'una cara lateral trapezoïdal.

Propietats de l'apotema

L'apotema a es pot utilitzar per trobar l'àrea que qualsevol polígon regular de n costats i amb longitud del costat s segons la següent fórmula, que també determina que l'àrea és igual al perímetre per l'apotema dividit entre dos ja que ns = p.

$A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}.$

Aquesta fórmula s'obté dividint el polígon de n costats en n triangles isòsceles congruents. Així, l'apotema és l'altura de cada triangle i s'obté la fórmula tenint en compte que l'àrea del triangle és igual a la base per l'altura dividit per dos.

L'apotema d'un polígon regular sempre és el radi de la circumferència inscrita. També és la distància mínima entre qualsevol costat del polígon i el seu centre.

Càlcul de l'apotema

L'apotema d'un polígon regular es pot trobar de diverses maneres. A continuació es mostren algunes fórmules pràctiques per trobar-ho.

L'apotema a d'un polígon regular de n costats de longitud s i circumradi R (radi de la circumferència circumscrita), es pot trobar utilitzant una de les següents fórmules:

$a=\frac{s}{2\tan(\pi/n)}=R\cos(180^\circ/n)=\frac{1}{2}s\tan\!\left(\frac{90^\circ(n-2)}{n}\right).$

Les fórmules es poden utilitzar igualment si només es coneixen el perímetre p i el nombre de costats n perquè $s = \frac{p}{n}.$