Aproximació lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Recta tangent a (a, f(a))

En matemàtiques, una aproximació lineal és una aproximació de una funció qualsevol fent servir una funció lineal (de forma més precisa una funció afí).

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una funció derivable f d'una variable real, el teorema de Taylor per a n=1 estableix que

 f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2

on el terme R_2 és el residu o error. L'aproximació lineal s'obté depreciant el residu:

 f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)

Lo qual és cert per a valors de x propers a a. L'expressió del cantó dret és precisament l'equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt (a, f(a)), i per aquest motiu, d'aquest procés també se'n diu aproximació per la recta tangent.

Les aproximacions lineals per a funcions vectorials de variable vectorial, s'obtenen de la mateixa forma, substituint la derivada en un punt per la matriu jacobiana. Per exemple, donada una funció derivable f(x, y) amb variables reals, es pot aproximar f(x, y) per (x, y) en punts proper a (a, b) fent servir la fórmula

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

L'expressió de la dreta és l'equació del pla tangent a la gràfica de z=f(x, y) al punt (a, b).

En el cas més general d'espais de Banach, es té

 f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)

on Df(a) és la derivada de Fréchet de f a a.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Per a trobar una aproximació de \sqrt[3]{25} es pot fer tal com s'explica tot seguit.

  1. Es planteja la funció  f(x)= x^{1/3}.\, Per tant, el problema consisteix en trobar el valor de f(25).
  2. Es té
     f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.
  3. D'acord amb l'aproximació lineal
     f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.
  4. El resultat, 2,926, és força proper al valor de la funció 2,924…

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E.. Calculus III. Berlin: Springer-Verlag, 1984, page 775. ISBN 0-387-90985-0. 
  • Strang, Gilbert. Calculus. Wellesley College, 1991, page 94. ISBN 0-9614088-2-0. 
  • Bock, David; Hockett, Shirley O.. How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005, page 118. ISBN 0-7641-2382-3.