Aproximant de Padé

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

L'aproximant de Padé és la millor aproximació a una funció mitjançant una funció racional d'un ordre donat. La sèrie de potències de l'aproximant coincideix amb la sèrie de potències de la funció que es vol aproximar.[1] La tècnica va ser desenvolupada per Henri Padé.

L'aproximant de Padé dóna sovint una millor aproximació de la funció que no l'equivalent sèrie de Taylor truncada i, a més a més, es pot aplicar allà on la sèrie de Taylor no convergeix. Per aquesta raó les aproximants de Padé s'empren habitualment en computació numèrica.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una funció f i dos enters m ≥ 0 i n ≥ 0, l' aproximant de Padé d'ordre (m, n) és la funció racional

R(x)=\frac{p_0+p_1x+p_2x^2+\cdots+p_mx^m}{1+q_1 x+q_2x^2+\cdots+q_nx^n}

que coincideix amb f(x) al màxim ordre possible:

\begin{array}{rcl}
 f(0)&=&R(0)\\
 f'(0)&=&R'(0)\\
 f''(0)&=&R''(0)\\
 &\vdots& \\
f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}
.

De manera equivalent, l'expansió en sèries de Maclaurin de R(x) (series de Taylor a l'origen), els sueus primers m + n termes cancel·larien els primers m + n termes de f(x), i per tant

f(x)-R(x) = c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots

L'aproximant de Padé és única per a uns m i n donats. És a dir que els coeficients p_0, p_1, \dots, p_m, q_1, \dots, q_n poden ser determinats unívocament. És per motius d'unicitat que s'escull el terme zero del denominador de R(x) igual a 1. D'altra manera el numerador i el denominador de R(x) serien únics excepte per una constant de proporcionalitat.

L'aproximant de Padé definida més amunt també es pot escriure

[m/n]_f(x). \,

Per a una x donada, les aproximants de Padé es poden calcular mitjançant l'algorisme èpsilon o altres transformacions de seqüència de les sumes parcials

s_n(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n

de les sèries de Taylor de f. És a dir

c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.

Cal fer notar que f pot se una sèrie de potències formal i, en conseqüència, les aproximants de Padé es poden aplicar també a la suma de sèries divergents.


Funció zeta de Riemann–Padé[modifica | modifica el codi]

Per estudiar la suma de sèries divergents, com

 \sum_{z=1}^{\infty}f(z),

pot ser útil introduir la funció zeta de Padé o funció zeta racional com a

 \zeta _{R}(s) = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{R(z)}{z^{s}},

on

 R(x) = [m/n]_{f}(x),\,

és l'aproximant de Padé d'ordre (m, n) de la funció f(x). La regularització zeta a s = 0 pren el valor de la suma de la sèrie divergent.

L'equació funcional per aquesta funció zeta dePadé és

 \sum_{j=0}^{n}p_{j}\zeta _{R}(s-j)= \sum_{j=0}^{m}q_{j}\zeta_{0}(s-j),

on p_j i q_j són els coeficients a l'aproximant de Padé. El subíndex '0' vol dir que l'aproximant és d'ordre [0/0] i, en conseqüència, obtenim la funció zeta de Riemann.

Mètode DLog Padé[modifica | modifica el codi]

Les aproximants de Padé es poden emprar per trobar els punts crítics i exponents de funcions. A termodinàmica, si una funció f(x) es comporta de manera no-analítica a prop d'un punt x = r com f(x)\sim \left|x-r\right|^{p}, el punt x = r rep el nom de punt crític i p l'exponent crític associat de f. Si es coneixen prou termes de l'expansió en sèries de f, es pot trobar una aproximació dels punts crítics i dels exponents crítics dels pols i els residus de l'aproximant de Padé \left[n/n+1\right]_{g}\left(x\right) on g=\frac{f'}{f}.

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

Una aproximant de Padé aproxima una funció d'una variable. Una aproximant de dues variables s'anomena una aproximant Chisholm, i una aproximant de Canterbury en moltes variables.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996. (anglès)
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991 (anglès)
  • Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical recipes in C. Section 5.12, consultable on-line. Cambridge University Press. (anglès)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]