Aproximant de Padé

L'aproximant de Padé és la millor aproximació a una funció mitjançant una funció racional d'un ordre donat. La sèrie de potències de l'aproximant coincideix amb la sèrie de potències de la funció que es vol aproximar. La tècnica va ser desenvolupada per Henri Padé.

Henri Padé.

L'aproximant de Padé dóna sovint una millor aproximació de la funció que no l'equivalent sèrie de Taylor truncada i, a més a més, es pot aplicar allà on la sèrie de Taylor no convergeix. Per aquesta raó les aproximants de Padé s'empren habitualment en computació numèrica.

Definició

Donada una funció f i dos enters m ≥ 0 i n ≥ 0, l' aproximant de Padé d'ordre (m, n) és la funció racional

$R(x)=\frac{p_0+p_1x+p_2x^2+\cdots+p_mx^m}{1+q_1 x+q_2x^2+\cdots+q_nx^n}$

que coincideix amb $f(x)$ al màxim ordre possible:

$\begin{array}{rcl} f(0)&=&R(0)\\ f'(0)&=&R'(0)\\ f''(0)&=&R''(0)\\ &\vdots& \\ f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}$.

De manera equivalent, l'expansió en sèries de Maclaurin de $R(x)$ (series de Taylor a l'origen), els sueus primers m + n termes cancel·larien els primers m + n termes de $f(x)$, i per tant

$f(x)-R(x) = c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots$

L'aproximant de Padé és única per a uns m i n donats. És a dir que els coeficients $p_0, p_1, \dots, p_m,$ $q_1, \dots, q_n$ poden ser determinats unívocament. És per motius d'unicitat que s'escull el terme zero del denominador de $R(x)$ igual a 1. D'altra manera el numerador i el denominador de $R(x)$ serien únics excepte per una constant de proporcionalitat.

L'aproximant de Padé definida més amunt també es pot escriure

$[m/n]_f(x). \,$

Per a una $x$ donada, les aproximants de Padé es poden calcular mitjançant l'algorisme èpsilon o altres transformacions de seqüència de les sumes parcials

$s_n(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n$

de les sèries de Taylor de $f$. És a dir

$c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$

Cal fer notar que $f$ pot se una sèrie de potències formal i, en conseqüència, les aproximants de Padé es poden aplicar també a la suma de sèries divergents.

Funció zeta de Riemann–Padé

Per estudiar la suma de sèries divergents, com

$\sum_{z=1}^{\infty}f(z),$

pot ser útil introduir la funció zeta de Padé o funció zeta racional com a

$\zeta _{R}(s) = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{R(z)}{z^{s}},$

on

$R(x) = [m/n]_{f}(x),\,$

és l'aproximant de Padé d'ordre (m, n) de la funció f(x). La regularització zeta a s = 0 pren el valor de la suma de la sèrie divergent.

L'equació funcional per aquesta funció zeta dePadé és

$\sum_{j=0}^{n}p_{j}\zeta _{R}(s-j)= \sum_{j=0}^{m}q_{j}\zeta_{0}(s-j),$

on $p_j$ i $q_j$ són els coeficients a l'aproximant de Padé. El subíndex '0' vol dir que l'aproximant és d'ordre [0/0] i, en conseqüència, obtenim la funció zeta de Riemann.

Mètode DLog Padé

Les aproximants de Padé es poden emprar per trobar els punts crítics i exponents de funcions. A termodinàmica, si una funció f(x) és comporta de manera no-analítica a prop d'un punt x = r com $f(x)\sim \left|x-r\right|^{p}$, el punt x = r rep el nom de punt crític i p l'exponent crític associat de f. Si es coneixen prou termes de l'expansió en sèries de f, es pot trobar una aproximació dels punts crítics i dels exponents crítics dels pols i els residus de l'aproximant de Padé $\left[n/n+1\right]_{g}\left(x\right)$ on $g=\frac{f'}{f}$.

Generalitzacions

Una aproximant de Padé aproxima una funció d'una variable. Una aproximant de dues variables s'anomena una aproximant Chisholm, i una aproximant de Canterbury en moltes variables.

Bibliografia

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996. (anglès)
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991 (anglès)
• Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical recipes in C. Section 5.12, consultable on-line. Cambridge University Press. (anglès)

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., "Padé Approximant" a MathWorld (en anglès).
• Module for Padé Approximation, John H. Mathews California State University, Fullerton (anglès)
• Padé Approximants, Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project (anglès)
• A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval (anglès)
• Data Analysis BriefBook: Pade Approximation, Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN (anglès)