Arquimedes

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Arquímedes)
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Arquimedes (Αρχιμήδης)
Quadre d'Arquimedes per Domenico Fetti, 1620
Quadre d'Arquimedes per Domenico Fetti, 1620
Naixement 287 aC
Siracusa, Magna Grècia
Mort 212 aC
Siracusa, Magna Grècia
Residència Siracusa, Magna Grècia
Camp Matemàtiques, Física, Enginyeria
Astronomia, Invenció
Treball(s) Principi d'Arquimedes
Cargol d'Arquimedes
Palanca, Hidrostàtica
Mètode dels teoremes mecànics

Arquimedes de Siracusa (en grec: Arkhimédes Αρχιμήδης) (Siracusa (Sicília) 287 aC - 212 aC) va ser un matemàtic, astrònom, filòsof, físic i enginyer grec. Encara que es coneixen pocs detalls de la seva vida, és considerat un dels científics més importants de l'antiguitat clàssica. Entre els seus avenços en física es troben els seus fonaments en hidrostàtica, estàtica i l'explicació del principi de la palanca. És reconegut per haver dissenyat innovadores màquines, incloent-hi armes de setge i el cargol d'Arquimedes, que porta el seu nom. Experiments moderns han provat afirmacions que Arquimedes va dissenyar màquines capaces de treure vaixells enemics de l'aigua i calar foc utilitzant una sèrie de miralls.[1]

Generalment, es considera a Arquimedes un dels més grans matemàtics de la història, i el més gran de l'antiguitat.[2][3] Usà el mètode d'esgotament per calcular l'àrea sota l'arc d'una paràbola amb la sumatòria d'una sèrie infinita, i va donar una aproximació extremadament precisa del nombre Pi.[4] També va definir l'espiral, fórmules per als volums de les superfícies de revolució i un enginyós sistema per expressar números molt llargs.

Arquimedes va morir durant el setge de Siracusa (214-212 aC), quan va ser assassinat per un soldat romà, malgrat les ordres que no havia de ser malmès. Ciceró descriu haver visitat la tomba d'Arquimedes, que tenia una esfera inscrita dins d'un cilindre sobre ella. Arquimedes va provar que l'esfera té dos terços de volum i superfície del cilindre (incloent-hi les bases d'aquests), la qual cosa va considerar el més gran dels seus descobriments matemàtics.

A diferència dels seus invents, els escrits matemàtics d'Arquimedes no van ser molt coneguts en l'antiguitat. Els matemàtics d'Alexandria ho van llegir i ho van citar, però la primera compilació comprensible va ser feta per Isidor de Milet (c. 530 dC), mentre cròniques de les obres d'Arquimedes escrites per Eutoci en el segle VI les van obrir per primera vegada a un públic més ampli. Les relativament poques còpies de treballs escrits d'Arquimedes que van sobreviure a través de l'Edat Mitjana van ser una important font d'idees durant el Renaixement,[5] mentre el descobriment el 1906 de treballs desconeguts d'Arquimedes en el palimpsest d'Arquimedes ha ajudat a comprendre com va obtenir resultats matemàtics.[6]

Biografia[modifica | modifica el codi]

Arquimedes va néixer cap al 287 aC al port marítim de Siracusa (Sicília, Itàlia), que en aquell temps era una colònia de la Magna Grècia. La data de naixement es basa en una afirmació de l'historiador bizantí John Tzetzes que afirmà que Arquimedes va viure 75 anys.[7] A «El comptador de sorra», el títol en grec és Psammites, Arquimedes esmenta el nom del seu pare, Phidias, un astrònom sobre el qual res se sap. Plutarc va escriure en la seva obra Vides paral·leles que Arquimedes estava emparentat amb el rei Hieró II de Siracusa, encara que Ciceró deia que Arquimedes va néixer en una família pobra.[8] Un amic d'Arquimedes, Heraclides, va escriure una biografia sobre ell. No obstant això, aquest llibre no es conserva, havent-se perdut detalls precisos de la seva vida.[9] Es desconeix, per exemple, si alguna vegada es va casar o va tenir fills. És possible que, durant la seva joventut, Arquimedes estudiés a Alexandria, a Egipte, on Conó de Samos i Eratòstenes de Cirene eren contemporanis seus. Es referia a Conó de Samos com el seu amic i dos dels seus treballs, el Mètode dels Teoremes Mecànics i el Problema del Bestiar, tenen introduccions dirigides a Eratòstenes.[10]

Arquimedes va morir cap al 212 aC, durant la Segona Guerra Púnica, quan les forces romanes del General Marc Claudi Marcel capturaren la ciutat de Siracusa després d'un setge de dos anys de durada. D'acord amb el popular relat de Plutarc, Arquimedes estava contemplant un diagrama matemàtic quan la ciutat va ser presa. Un soldat romà li va ordenar anar a trobar-se amb el general, però Arquimedes va fer cas omís a això, dient que havia d'acabar abans amb el problema. Plutarc brinda un relat menys conegut de la mort d'Arquimedes, el qual suggereix que el podria haver estat mort intentant rendir-se davant d'un soldat romà. D'acord amb aquesta història, Arquimedes portava instruments matemàtics, i va ser assassinat perquè el soldat va pensar que eren objectes valuosos. El general Marcelo es va mostrar furiós davant la mort d'Arquimedes, a causa del fet que el considerava una valuosa avantatge científica, i havia ordenat prèviament que no fos ferit.[11]

Les darreres paraules atribuïdes a Arquimedes van ser: "No molestis els meus cercles", en referència als cercles en el dibuix matemàtic que suposadament estava estudiant quan el va interrompre el soldat romà. La frase és sovint esmentada en llatí com a "Noli turbare cercles meos", però no hi ha proves que Arquimedes pronunciés aquestes paraules i no apareixen en els relats de Plutarc.[11]

La tomba d'Arquimedes tenia una escultura que il·lustrava el seu descobriment matemàtic favorit, que consistia en una esfera i un cilindre de la mateixa alçada i diàmetre. Arquimedes havia provat que el volum i l'àrea de l'esfera són dos terços dels del cilindre, incloent-hi les seves bases. L'any 75 aC, l'orador romà Ciceró estava servint com cuestor a Sicília. Aquest havia sentit històries sobre la tomba d'Arquimedes, però cap dels locals va ser capaç de dir on es trobava. Eventualment, va trobar la tomba prop de la porta d'Agrigento a Siracusa, en una condició descurada i poblada d'arbustos. Ciceró va netejar la tomba, i així va ser capaç de veure la talla i llegir alguns dels versos que li havien escrit en ella.[12]

Les diferents versions de la vida d'Arquimedes van ser escrites molt de temps després de la seva mort pels historiadors de l'Antiga Roma. El relat de la setge a Siracusa escrit per Polibi a la seva Historia universal es remunta al voltant d'uns setanta anys després de la mort d'Arquimedes, i va ser utilitzat com a font d'informació per Plutarc i Titus Livi. Aquest aclareix punts sobre Arquimedes com a persona, i s'enfoca en les màquines de guerra que deia haver construït per defensar la ciutat.[13]

Obres, descobriments i invents[modifica | modifica el codi]

Encara que probablement la seva contribució científica més coneguda sigui el principi de la hidrostàtica que porta el seu nom, no van ser menys notables les seues disquisicions sobre la quadratura del cercle, que és el que ve a ser el descobriment de la relació aproximada entre la circumferència i el diàmetre, relació que es designa avui en dia amb la lletra grega π (pi) (vegeu Història del nombre Pi).

Deducció de pi a partir la circumscripció de polígons a un cercle

Arquimedes va demostrar que el costat del hexàgon regular inscrit en un cercle és igual al radi de tal cercle; així com que el costat del quadrat circumscrit a un cercle és igual al diàmetre de tal cercle. De la primera proposició va deduir que el perímetre de l'hexàgon inscrit era 3 vegades el diàmetre de la circumferència, mentre que de la segona va deduir que el perímetre del quadrat circumscrit era 4 vegades el diàmetre de la circumferència.

Va afirmar a més que tota línia tancada embolicada per una altra és de menor longitud que aquesta, per la qual cosa la circumferència havia de ser major que tres diàmetres però menor que quatre. Per mitjà de successives inscripcions i circumscripcions de polígons regulars va arribar a determinar el valor aproximat de π entre:

\pi = \frac{223}{71} = 3,1409
\pi = \frac{22}{7} = 3,1429

Amb els rudimentaris mitjans de què disposava el savi grec, l'error absolut que va cometre en el càlcul de π va resultar ser inferior a una mil·lèsima (0,0040 %).

És Arquimedes, això no obstant, més conegut per enunciar el principi que porta el seu nom.

Principi d'Arquimedes: tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta vertical i cap amunt igual al pes de fluid desallotjat.

Conta la història que Hieron, l'esmentat monarca de Siracusa, va fer entrega a un argenter de la ciutat de certes quantitats d'or i argent per a l'elaboració d'una corona. Finalitzat el treball, Hieron, desconfiat de l'honradesa de l'artífex i encara reconeixent la qualitat artística de l'obra, va sol·licitar a Arquimedes que conservant la corona en la seva integritat determinara la llei dels metalls amb el propòsit de comprovar si l'artífex l'havia rebaixat, guardant-se per a si part d'allò que s'ha entregat impulsat per l'avarícia, la mateixa, amb seguretat, que al propi Hieron impel·lia a realitzar semblant comprovació.

Preocupat Arquimedes pel problema, a què no trobava solució, un bon dia al submergir-se en el bany va advertir, com tantes vegades amb anterioritat, que a causa de la resistència que l'aigua oposa, el cos sembla pesar menys, fins al punt que en alguna ocasió inclús és sostingut a surar sense submergir-se. Pensant en això va arribar a la conclusió que en submergir el seu cos en la banyera, ocupava un lloc que forçosament deixava de ser ocupat per l'aigua, i va endevinar que el que menys pesava ell era precisament el que pesava l'aigua que havia desallotjat.

Donant per resolt el problema que tant li havia preocupat va ser tal la seva excitació que nu com estava, va botar de la banyera, i es va llançar pels carrers de Siracusa al crit d'Eureka! Eureka! (Ho he trobat! Ho he trobat!). Va procedir llavors Arquimedes a pesar la corona en l'aire i en a l'aigua comprovant que en efecte, la seva densitat no corresponia a la que haguera resultat d'emprar l'artífex tot l'or i la plata entregats i determinant, en conseqüència, que aquest havia estafat el rei.

No s'esgota, això no obstant, amb aquesta anècdota, el talent d'Arquimedes que a més es va anticipar al descobriment del càlcul integral amb els seus estudis sobre les àrees i volums de figures sòlides corbades i d'àrees de figures planes; va realitzar un exhaustiu estudi de l'espiral uniforme, coneguda com a espiral d'Arquimedes; va determinar el resultat de la sèrie geomètrica de raó 1/4, el més antic del que es té notícia; va demostrar que el volum d'una esfera és dos terços del volum del cilindre que la circumscriu, descobriment que segons conta Plutarc va sol·licitar als seus amics fóra el seu epitafi; va crear un sistema numèric posicional per a escriure nombres molt grans; va inventar una màquina per a l'elevació d'aigua, el cargol d'Arquimedes així com la balança que porta el seu nom; va enunciar la llei de la palanca el que li va portar a proferir la cèlebre frase Doneu-me un punt de suport i mouré el món; va inventar la corriola composta, basada en el principi de la palanca, emprant-la per a moure un gran vaixell per a sorpresa de l'escèptic Hieron; etc.

La corona daurada[modifica | modifica el codi]

És possible que Arquimedes empràs el seu principi de flotabilitat per determinar si la corona daurada era menys densa que l'or pur.

L'anècdota més coneguda sobre Arquimedes explica com va inventar un mètode per determinar el volum d'un objecte amb una forma irregular. D'acord amb Vitruvi, una nova corona amb forma de corona triomfal havia estat fabricada per Hieró II, el qual li va demanar a Arquimedes determinar si la corona estava feta només d'or o si li havia agregat plata un orfebre deshonest.[14] Arquimedes havia de resoldre el problema sense malmetre la corona, de manera que no la podia fondre i convertir-la en un cos regular per calcular la seva densitat.

Mentre prenia un bany, va notar que el nivell d'aigua pujava a la tina quan entrava, i així es va adonar que aquest efecte podria ser utilitzat per determinar el volum de la corona. A causa del fet que l'aigua no es pot comprimir, «Incompressibility of Water». Harvard University., la corona, en ser submergida, desplaçaria una quantitat d'aigua igual al seu propi volum. Al dividir el pes de la corona pel volum d'aigua desplaçada es podria obtenir la densitat de la corona. La densitat de la corona seria menor si altres metalls menys densos li haguessin estat afegits. Llavors, Arquimedes va sortir corrent nu pels carrers, tan emocionat pel seu descobriment que no va recordar vestir-se, cridant "Eureka!" (en grec antic: "εὕρηκα!," que significa "Ho he trobat!)".[15]

La història de la corona daurada no apareix en els treballs coneguts d'Arquimedes. A més, s'ha dubtat que el mètode que descriu sigui factible, a causa del nivell d'exactitud prohibitiu que s'hauria requerit per mesurar el volum d'aigua desplaçada.[16]

En comptes d'això, Arquimedes podria haver buscat una solució a la que aplicava el principi de la hidrostàtica conegut com el principi d'Arquimedes, descrit en el seu tractat Sobre els cossos flotants. Aquest principi planteja que tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta vertical i cap amunt igual al pes de fluid que desallotja.[17] Utilitzant aquest principi, hauria estat possible comparar la densitat de la corona daurada amb la d'or pur al usar una balança. Situant en un costat de la balança la corona a investigar i en l'altre una mostra d'or pur del mateix pes, es procediria a submergir la balança en l'aigua, si la corona tingués menys densitat que l'or, desplaçaria més aigua a causa del seu major volum i experimentaria una major empenta que la mostra d'or. Aquesta diferència de flotabilitat decantaria la balança com correspon. Galileu creia que aquest mètode era "el mateix que va usar Arquimedes, a causa del fet que, a més de ser molt exacte, depèn encara de demostracions retrobades pel mateix Arquimedes."[18]

Cargol d'Arquimedes[modifica | modifica el codi]

El cargol d'Arquimedes pot elevar líquids i sòlids de forma contínua

Una gran part del treball d'Arquimedes en enginyeria sorgir per satisfer les necessitats de la seva ciutat natal, Siracusa. L'escriptor grec Ateneu de Naucratis descrivia com Hieró II li va encarregar a Arquimedes dissenyar un enorme vaixell, el Siracusia, el qual seria utilitzat per viatges luxosos, carregar subministraments i com a vaixell de guerra. Es diu que el Siracusia va ser el vaixell més gran de l'antiguitat clàssica.[19] Segons Ateneu, era capaç de carregar 600 persones i incloïa jardins decoratius, un gimnàs i un temple dedicat a la deessa Afrodita entre les seves instal·lacions. A causa del fet que un vaixell d'aquesta envergadura deixaria passar grans quantitats d'aigua a través del casc, el cargol d'Arquimedes va ser inventat per tal d'extreure l'aigua de la sentina. La màquina d'Arquimedes era un mecanisme amb una fulla amb forma de cargol dins d'un cilindre. Es ho feia girar a mà, i podia ser utilitzat per a transferir aigua des de masses d'aigües baixes a canals d'irrigació. El cargol d'Arquimedes encara avui es fa servir per bombar líquids i sòlids semifluids, com carbó i cereals. El cargol d'Arquimedes, tal com el va descriure Marc Vitruvi en els temps de Roma, pot haver estat una millora del cargol de bombament que va ser utilitzat per irrigar els jardins penjants de Babilònia.[20][21]

L'urpa d'Arquimedes[modifica | modifica el codi]

L'urpa d'Arquimedes és una altra arma que suposadament va ser dissenyada per defensar la ciutat de Siracusa. També coneguda com "l'agitador de vaixells", l'urpa consistia en un braç semblant a una grua d'on estava suspès un enorme ganxo de metall. Quan l'urpa era deixat anar sobre un vaixell enemic, el braç es mouria en forma ascendent, aixecant el vaixell fora de l'aigua i possiblement fent enfonsar. S'ha realitzat experiments moderns per provar la viabilitat de l'urpa, i en un documental de l'any 2005 titulat Superweapons of the Ancient World (Superarmes del món antic) es va construir una versió de l'urpa i es va concloure que era un dispositiu factible.[22][23]

El raig de calor d'Arquímedes, mite o realitat?[modifica | modifica el codi]

És possible que Arquimedes hagi utilitzat miralls actuant com a reflectors parabòlics per incendiar vaixells que atacaren Siracusa.

L'historiador del segle II Lucià de Samosata va escriure que, durant el setge de Siracusa (213-211 aC), Arquimedes repelí un atac dut a terme per soldats romans amb un mirall ustori.[24] L'artefacte era utilitzat per enfocar la llum solar en els vaixells que s'acostaven, la qual cosa causava que s'incendiessin. La credibilitat d'aquesta afirmació ha estat objecte de debat des del Renaixement. René Descartes va rebutjar això com a fals, mentre que investigadors moderns han intentat recrear l'efecte considerant les capacitats tècniques de les que disposava Arquimedes.[25] S'ha suggerit que una gran quantitat d'escuts ben polits de bronze o coure podrien haver estat utilitzats com a miralls, per així enfocar la llum solar en un vaixell. Això podria haver utilitzat el principi del reflector parabòlic, en una manera semblant a un forn solar.

Una prova del raig de calor d'Arquimedes va ser duta a terme pel científic grec Ioannis Sakkara el 1973. L'experiment va tenir lloc a la base naval de Skaramangas, als afores d'Atenes. En aquesta ocasió es va utilitzar 70 miralls, cada un cobert amb una coberta de coure i amb al voltant d'1,5 metres de grandària. Els miralls estaven dirigits a una maqueta de fusta contraxapada d'un vaixell de guerra romà a una distància d'uns 50 m. Quan els miralls van ser enfocats amb precisió, el vaixell va cremar en flames en qüestió d'uns pocs segons. La maqueta tenia una coberta de pintura de betum, la qual cosa pot haver ajudat a la combustió.[26]

L'octubre de 2005 un grup d'estudiants de l'Institut Tecnològic de Massachusetts va dur a terme un experiment amb 127 miralls quadrats de 30 centímetres de costat enfocats en una maqueta de fusta d'un vaixell a una distància de 30 metres. Brollaren flames en una part del vaixell, però únicament després que el cel es va aclarir i que el vaixell romangués immòbil al voltant de deu minuts. Es va concloure que l'arma era un mecanisme viable sota aquestes condicions. El grup de l'institut va repetir l'experiment per al show televisiu MythBusters (caçadors de mites), utilitzant un vaixell de pesca de fusta com a blanc, a San Francisco. Novament va haver carbonització, a més d'una petita quantitat de flames. Per calar foc, la fusta necessita assolir el seu punt d'inflamabilitat, el qual ronda els 300 °C.[27]

Quan els caçadors de mites emetre l'experiment dut a terme a San Francisco el gener de 2006, l'afirmació va ser categoritzada com a mentida, a causa de la durada del temps i el clima necessaris per a la combustió. També van assenyalar que, a causa del fet que Siracusa mira al mar cap a l'Est, la flota romana hauria d'haver atacat durant el matí per a una òptima reflexió de la llum pels miralls. A més, armes convencionals com fletxes en flames o catapultes haguessin estat una forma molt més fàcil de calar foc un vaixell a curtes distàncies.[1]

Altres descobriments i invencions[modifica | modifica el codi]

Si bé Arquimedes no va inventar la palanca, sí que va escriure la primera explicació rigorosa del principi que entra en joc en accionar-la. Segons Pappus d'Alexandria, a causa del seu treball sobre palanques comentà: "Doneu-me un punt de suport i mouré el món" (en grec: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).[28] Plutarc descriu com Arquimedes va dissenyar el sistema del polispast, permetent als mariners utilitzar el principi de palanca per aixecar objectes que, d'una altra manera, haguessin estat massa pesants per poder moure'ls.[29]

També se li ha acreditat a Arquimedes haver augmentat el poder i la precisió de la catapulta, així com haver inventat l'hodòmetre durant la Primera Guerra Púnica. L'hodòmetre va ser descrit com un carro amb un mecanisme d'engranatge que tirava una bola en un contenidor després de cada milla recorreguda.[30]

Ciceró (106 aC-43 aC) esmenta breument Arquimedes en el seu diàleg De re publica, el qual descriu una conversa fictícia l'any 129 aC. Es diu que, després de la captura de Siracusa, cap al 212 aC, el General Marc Claudi Marcel va portar de tornada a Roma dos mecanismes que es feien servir com a eines per a estudis astronòmics, que mostrava els moviments del Sol, la Lluna i cinc planetes. Ciceró esmenta mecanismes semblants dissenyats per Tales de Milet i Èudox de Cnidos. El diàleg diu que Marcel va guardar un dels mecanismes com el seu botí personal de Siracusa i va donar l'altre al Temple de la Virtut a Roma. D'acord amb Ciceró, Gai Sulpici Gal va fer una demostració del mecanisme de Marcel, i el va descriure de la següent manera:[31][32][33]

« Quan Gallus va moure el globus terraqui, va succeir que la Lluna va seguir donant tantes voltes en aquesta esfera de vidre com en el cel mateix, i el globus solar del firmament va arribar a formar el mateix eclipsi, i la Lluna va assolir la posició en la que es veia la seva ombra sobre la Terra, com el Sol... »
— Ciceró, De re publica

Aquesta descripció correspon a la d'un planetari. Pappus d'Alexandria va dir que Arquimedes havia escrit un manuscrit, actualment perdut, sobre la construcció d'aquests mecanismes, el qual es titulava "Sobre el fer esferes". Investigacions modernes en aquesta àrea l'han comparat amb el mecanisme de Antiquitera, un altre invent de l'antiguitat clàssica probablement dissenyat amb el mateix propòsit. Construir mecanismes d'aquest tipus hauria d'haver requerit un sofisticat coneixement de engranatges diferencials. Se solia pensar que això anava més enllà de l'abast de la tecnologia disponible en aquells temps, però el descobriment del mecanisme de Antiquitera el 1902 ha confirmat que aquesta classe d'artefactes eren coneguts pels antics grecs.[34][35]

Escrits[modifica | modifica el codi]

Va ser autor de nombroses obres de variada temàtica en què destaca el rigor de les seues demostracions geomètriques, raó per la qual és considerat el més notable científic i matemàtic de l'antiguitat. Encara que molts dels seus escrits es van perdre en la destrucció de la Biblioteca d'Alexandria, han arribat fins als nostres dies a través de les traduccions llatines i àrabs. Ací s'indiquen algunes d'elles:

  • Arenari
  • Mètode
  • La mesura del cercle
  • De l'esfera i el cilindre
  • De la quadratura
  • La quadratura de la paràbola
  • Dels esferoides i els conoides
  • De les línies espirals
  • Determinació dels centres de gravetat en les línies i en els plans (De l'equilibri dels plans)
  • De l'equilibri dels cossos en els fluids (Dels cossos flotants)
  • Problema dels bous
  • Catròptica (desapareguda)
  • De la construcció d'esferes (desapareguda)[36]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 «Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters». MIT.
  2. Calinger, Ronald. A Contextual History of Mathematics. Prentice-Hall, 1999, p. 150. ISBN 0-02-318285-7. 
  3. «Archimedes of Syracuse». The MacTutor History of Mathematics archive, gener de 1999.
  4. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. «A history of calculus». University of St Andrews, febrer de 1996.
  5. Bursill-Hall, Piers. «Galileo, Archimedes, and Renaissance engineers». sciencelive with the University of Cambridge.
  6. «Archimedes - The Palimpsest». Walters Art Museum.
  7. T. L. Heath. Works of Archimedes, 1897
  8. Plutarc. «gutenberg. org/etext/674 Parallel Lives Complet e-text a Gutenberg. org». Projecte Gutenberg.
  9. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. «mcs. st-andrews. ac. uk/Biographies/Archimedes. html Archimedes of Syracuse». University of St Andrews.
  10. En el prefaci de "Sobre les espirals", adreçat a Dositeu de Pelusi, Arquimedes diu que "molts anys han passat des de la mort de Conó". Conó de Samos va viure cap el 280-220 aC, el que suggereix que Arquimedes pot haver estat més vell quan va escriure alguns dels seus treballs.
  11. 11,0 11,1 Rorres, Chris. «math. nyu. edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories. html Death of Archimedes: Sources». Courant Institute of Mathematical Sciences.
  12. Rorres, Chris. «math. nyu. edu/~crorres/Archimedes/Tomb/Cicero. html Tomb of Archimedes: Sources». Courant Institute of Mathematical Sciences.
  13. Rorres, Chris. «math. nyu. edu/~crorres/Archimedes/Siege/Polybius. html Siege of Syracuse». Courant Institute of Mathematical Sciences.
  14. Vitruvi. «De Architectura, Book IX, paragraphs 9–12, text en anglès i llatí». University of Chicago.
  15. HyperPhysics. «Buoyancy». Georgia State University.
  16. Rorres, Chris. «The Golden Crown». Drexel University.
  17. Carroll, Bradley W. «Archimedes' Principle». Weber State University.
  18. Rorres, Chris. «The Golden Crown: Galileo's Balance». Drexel University.
  19. Casson, Lionel. Ships and Seamanship in the Ancient World. Princeton University Press, 1971. ISBN 0691035369. 
  20. Dalley, Stephanie; Oleson, John Peter. «Sennacherib, Archimedes, and the Water Screw: The Context of Invention in the Ancient World». Technology and Culture Volum 44, núm. 1, gener de 2003 (PDF).
  21. Rorres, Chris. «Archimedes Screw - Optimal Design». Courant Institute of Mathematical Sciences. [Consulta: 23-07-2007].
  22. Rorres, Chris. «Archimedes' Claw - Illustrations and Animations - a range of possible designs for the claw». Courant Institute of Mathematical Sciences.
  23. Carroll, Bradley W. «Archimedes' Claw - watch an animation». Weber State University.
  24. Hippias, Cap. 2.
  25. John Wesley. «A Compendium of Natural Philosophy (1810) Capítol XII, Burning Glasses». Online text at Wesley Center for Applied Theology.
  26. «Archimedes' Weapon». Time, 26 de novembre de 1973.
  27. Bonsor, Kevin. «How Wildfires Work». HowStuffWorks.
  28. Pappus d'Alexandria a Synagoge, Book VIII
  29. «Pulleys». Society of Women Engineers.
  30. «Ancient Greek Scientists: Hero of Alexandria». Technology Museum of Thessaloniki.
  31. En llatí original: Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione
  32. Ciceró. «De re publica 1.xiv §21». thelatinlibrary.com.
  33. Ciceró. «De re publica E-text complet en anglès a Gutenberg.org». Projecte Gutenberg.
  34. Rorres, Chris. «Spheres and Planetaria». Courant Institute of Mathematical Sciences.
  35. «Ancient Moon 'computer' revisited». BBC News, 29 de novembre de 2006.
  36. "Arquimedes" a la Gran Enciclopèdia Catalana. Consultat l'1 de luny de 2009.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]