Arrel enèsima

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, l'arrel enèsima d'un nombre x és un nombre r que, quan s'eleva a n, equival a x:

r^n = x

On n és el grau de l'arrel. Una arrel de grau 2 s'anomena arrel quadrada i una arrel de grau tres arrel cúbica. Les arrels de grau superior es designen usant els nombres ordinals, com per exemple arrel quarta, arrel vintena, etc.

Per exemple:

  • 2 és una arrel quadrada de 4, perquè 22 = 4.
  • −2 també és una arrel quadrada de 4, perquè (−2)2 = 4.

Un nombre real o nombre complexn arrels de grau n. Les arrels de 0 no són diferents (totes són zero), però excepte aquest cas especial, totes les n arrels enèsimes de qualsevol altre nombre real o complex són diferents. Si n és parell i el nombre és real i positiu, una de les seves n arrels és positiva, una és negativa i la resta són complexes però no reals; d'altra banda, si n és parell i el nombre és real i negatiu, cap de les n arrels és real. Si n és imparell i el nombre és real, una arrel és real i té el mateix signe que el nombre, mentre que la resta d'arrels no són reals.

Les arrels se solen escriure mitjançant el símbol de radical \sqrt{\,\,} o \surd{}, on \sqrt{x}\!\, o \surd x denoten l'arrel quadrada, \sqrt[3]{x}\!\, denota l'arrel cúbica, \sqrt[4]{x} denota l'arrel quarta, etc. En l'expressió \sqrt[n]{x}, n s'anomena índex, \sqrt{\,\,} és el símbol de radical i x és el radicand.

En càlcul, les arrels es tracten com casos especials de potenciació en els quals l'exponent és una fracció:

\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}

Les arrels són especialment importants en la teoria de sèries infinites; el criteri de l'arrel determina el radi de convergència d'una sèrie de potències. Les arrels enèsimes també es poden definir per nombres complexos, i les arrels complexes d'1 (arrel de la unitat) tenen un paper important en matemàtiques avançades. La teoria de Galois és útil per determinar quins nombres algebraics es poden expressar a partir d'arrels, i per demostrat el teorema d'Abel-Ruffini, que postula que una equació polinòmica general de grau cinc o superior no es pot resoldre tan sols fent servir arrels.

Propietats de les arrels[modifica | modifica el codi]

Les arrels, tenen propietats molt similars a les potències. Es poden operar com potències si s'expressen com a tals. Es pot veure les propietats de les potències a potència aritmètica

Suma i resta de radicals[modifica | modifica el codi]

La suma o la resta de arrel és una altra arrel semblant a les anteriors el coeficient de la qual és la suma o la resta de coeficients.

5\sqrt[n]{m} + 3\sqrt[n]{m} − 2\sqrt[n]{m} = 6\sqrt[n]{m}

Arrel d'una arrel[modifica | modifica el codi]

Si es fa l'arrel d'una arrel, es pot simplificar com una sola arrel multiplicant els exponents:

\sqrt[n]{\sqrt[m]{p}}=\sqrt[m \cdot n] {p}

Producte d'arrels[modifica | modifica el codi]

El producte de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel del producte.

\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}

Divisió d'arrels[modifica | modifica el codi]

La divisió de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel de la divisió.

\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}

Arrels de nombres negatius[modifica | modifica el codi]

Quan es fa l'arrel d'un nombre negatiu, llavors l'arrel té com a resultats n nombres complexos.

\sqrt[n]{-p} = \sqrt[n]{p}\, \left(\cos \frac{(2 k + 1)\pi}{n} + i\, \sin \frac{(2 k + 1)\pi}{n}\right) = \sqrt[n]{p}\, \exp \left( \frac{(2 k + 1)\pi i}{n}\right) (k nombre enter, p > 0).

Per exemple, si n = 4, les quatre arrels de -1 són:

\frac{\sqrt 2}{2}\,(1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 - i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(1 - i).

Introducció de factors en una arrel[modifica | modifica el codi]

Per introduir factors en una radical. han d'elevar-se aquests factors a l'índex de l'arrel.

a⋅\sqrt[n]{x}= \sqrt[n]{a^nx}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]