Arrel quadrada

De Viquipèdia

En matemàtiques, l´arrel quadrada d'un nombre real no negatiu x és el nombre real que, multiplicat amb si mateix, dóna x. L'arrel quadrada, és un cas específic d'arrel aritmètica.

L'arrel quadrada de x es denota per . Per exemple, , ja que 4 × 4 = (-4) x (-4) = 16, ... Les arrels quadrades són importants en la resolució d'equacions quadràtiques.

La generalització de la funció arrel quadrada als nombres negatius dóna lloc als nombres imaginaris i al cos dels nombres complexos.

El símbol de l'arrel quadrada es va emprar per primera vegada en el segle XVI. S'ha especulat amb que va tenir el seu origen en una forma alterada de la lletra r minúscula, que representaria la paraula llatina "radix", que significa "arrel".

[edita] Propietats

Les següents propietats de l'arrel quadrada són vàlides per a tots els nombres reals no negatius x, y:

per a tot nombre real x (vegeu valor absolut)

La funció arrel quadrada, en general, transforma nombres racionals en nombres algebraics; és racional si i només si x és un nombre racional que pot escriure's com fracció de dos quadrats perfectes. Si el denominador és 1² = 1, llavors es tracta d'un nombre natural. No obstant això, és irracional.

La funció arrel quadrada transforma la superfície d'un quadrat en la longitud del seu costat.

[edita] Extreure factors

Per extreure factors d'una arrel, és a dir, deixar-los en forma de potències multiplicant per l'arrel, s'han de treure dividint per l'índex. Tenim una arrel d'índex 3. A dins, tenim '2^8·9'. Per deixar a fora (multiplicant per l'arrel) tot el que es pugui, primer s'ha de veure tot el que podem extreure: Si hi ha un 2^8, es descomposa una part, deixant-ho a 2^6·2. El 9 no es pot extreure, perquè descomposat és 3^2, i el seu exponent no es pot dividir entre l'índex, que en aquest cas és 3. Quedarà: 2^2 arrel de 2^2·9, perquè 6 (exponent del 2 quan estava inclosa a l'arrel) dividit entre 3 (índex de l'arrel) és igual a 2 (i és la potència que li queda al 2 exclòs de l'arrel).

[edita] Mitjana geomètrica

La mitjana geomètrica de dos nombres reals no negatius x, y és:

Compleix la desigualtat:

,

on és la mitjana aritmètica : .

A més:

si i només si , ja que

, i .

Arrel quadrada De Viquipèdia Dreceres ràpides: navegació, cerca Es diu en matemàtiques, l'arrel quadrada d'un nombre x com aquell nombre i tal que multiplicat per si mateix tingui com a producte x. L'arrel quadrada de x s'expressa o. Per exemple:

Representació de "arrel quadrada de x"., Ja que

Les arrels quadrades van ser un dels primers desenvolupaments de les matemàtiques, sent particularment investigades durant el període pitagòric, quan el descobriment que arrel de 2 era irracional (incommensurable) o no expressa com quocient algun suposar una fita en la matemàtica de l'època.

Posteriorment es va anar ampliant la definició d'arrel quadrada. Per als nombres reals negatius, la generalització de la funció arrel quadrada d'aquests dóna lloc al concepte dels nombres imaginaris i al cos dels nombres complexos, quelcom necessari perquè qualsevol polinomi tingui les seves arrels totes les seves arrels (teorema fonamental de l'àlgebra). La diagonalització de matrius també permet el càlcul ràpid de l'arrel d'una matriu.

Inicialment van mostrar la seva utilitat per a la resolució de problemes trigonomètrics i geomètrics com la diagonal d'un quadrat o el teorema de Pitàgores. Posteriorment van anar guanyant utilitat per operar amb polinomis i resoldre equacions de segon grau o superior, sent una de les eines matemàtiques més elementals avui en dia.

Contingut [amaga] 1 Història 2 irracionalitat de les arrels quadrades 3 Resolució d'arrels quadrades 3.1 Algorisme manual 3.2 Algorismes per a màquines 4 Extensió de les arrels 4.1 L'arrel quadrada en els nombres complexos 4.2 Arrel quadrada de matrius 5 Construcció geomètrica de l'arrel quadrada 5.1 Passos a seguir per a la construcció geomètrica 5.2 Demostració que OH és igual a l'arrel quadrada de OB 6 Propietats 6.1 Propietats generals 6.2 Radicals jerarquitzats quadrats 6.3 Fraccions contínues 6.4 Aproximacions senceres 7 Arrels quadrades útils 7.1 Arrel quadrada de 2 7.2 Arrel quadrada de 3 7.3 Arrel quadrada de 5 8 Notes 9 Referències 10 Vegeu també 11 Enllaços externs

 Història [edita] El Papir de Ahmes datat en 1650 a. C., que copia textos més antics, mostra com els egipcis extreien arrels quadrades. [1] 

A l'antiga Índia, el coneixement d'aspectes teòrics i aplicats del quadrat i l'arrel quadrada va ser almenys tan antic com els Sulba Sutras, datats al voltant del 800-500 a. C. (possiblement molt abans). Un mètode per trobar molt bones aproximacions a les arrels quadrades de 2 i 3 és donat en el Baudhayana Sulba Sutra. [2] Aryabhata en el seu tractat Aryabhatiya (secció 2.4), va donar un mètode per trobar l'arrel quadrada de nombres amb diversos dígits.

David Eugene Smith a History of Mathematics, diu, sobre la situació existent: "A Europa aquests mètodes (per a trobar el quadrat i l'arrel quadrada) no van aparèixer abans de Cataneo (1546). Ell va donar el mètode de Aryabhata per determinar l'arrel quadrada ". [3]

El símbol de l'arrel quadrada va ser introduït en 1525 pel matemàtic Christoph Rudolff per representar aquesta operació [4] [5] que apareix en el seu llibre cossos, sent el primer tractat d'àlgebra escrit en alemany vulgar. El signe no és més que una forma estilitzada de la lletra r minúscula per fer-la més elegant, allargada amb un traç horitzontal, fins a adoptar l'aspecte actual, que representa la paraula llatina RADIX, que significa arrel. També es conjectura que pogués haver sorgit de l'evolució del punt que en ocasions s'utilitzava anteriorment per a representar-lo, on posteriorment se li hauria afegit un traç oblic en la direcció del radicat.

Temps enrera, diversos matemàtics van veure la necessitat d'idear nombres que representessin l'arrel quadrada de nombres negatius, per poder resoldre totes les equacions de segon grau, però no serà fins 1777 quan Euler simbolitzi l'arrel quadrada de -1 amb la lletra i, donant així cabuda al desenvolupament dels nombres complexos.

 Irracionalitat de les arrels quadrades [edita] Les arrels quadrades dels nombres enters que no són quadrats perfectes són sempre nombres irracionals, que són números no expressats com el quocient de dos nombres enters. És a dir, l'arrel quadrada d'un nombre sencer sempre serà sencer o irracional. 

Es pot demostrar fàcilment com segueix:

n pot ser expressat com el producte d'una sèrie de factors cosins elevats a diversos exponents. De ser tots iguals, les propietats de la potenciació permeten reduir l'arrel a un nombre natural. Només si un o més dels factors té un exponent senar l'arrel no és natural. Si fos racional s'hauria de poder expressar com amb p, q sencers i cosins entre si. Elevant al quadrat ambdues parts s'obté que el que és absurd, doncs a un costat queda almenys un factor cosí amb exponent imparell mentre que l'altre costat de la igualtat tant p2 com Q2 s'expressen en funció de producte de cosins elevats a exponents necessàriament parells Per una reducció a l'absurd van arribar els pitagòrics a la demostració de la irracionalitat de l'arrel quadrada de 2, atribuït a Hipaso, un deixeble de Pitàgores. La idea, contrària a l'esperat en la matemàtica de llavors va suposar una crisi en la filosofia pitagòrica.

No obstant això, és exactament la longitud de la diagonal d'un quadrat el costat mesura 1, essent fàcil la construcció gràfica de l'arrel. Per això bona part de la matemàtica helénica es va centrar en la geometria aplicada com a forma de calcular gràficament valors com aquest. Teodoro de Cirene va arribar a l'espiral que porta el seu nom que permet representar gràficament qualsevol arrel i posteriorment Euclides va arribar a un mètode més general.

 Resolució d'arrels quadrades [edita] Article principal: Formes de resoldre l'arrel quadrada 

Avui en dia existeixen molts mètodes per poder calcular l'arrel quadrada, havent alguns significatius pel fet de ser a mà i altres pel fet de ser calculats per una màquina.

 Algorisme manual [edita] Quan resolem l'arrel quadrada amb el seu mètode de resolució usual podem veure les parts en què es divideix, encara que les essencials d'aquesta no tenen per què aparèixer o ser usades només en l'operació per ser calculada l'arrel quadrada, segons aquesta imatge podem veure que les parts de les que es compon són: 

Radical, és el símbol que indica que és una arrel quadrada. Radiquen, és el número del que s'obté l'arrel quadrada. Arrel, és pròpiament l'arrel quadrada del radicat. Renglons auxiliars, ens ajudaran a resoldre l'arrel quadrada. Resta, és el número final del procés per resoldre l'arrel quadrada. Els passos a seguir són aquests:

Pas 1Paso 1: Es separa el número del radicat (en l'exemple, 5836.369) en grups de dues xifres. La separació es fa des del signe de decimal (si n'hi hagués) cap a la dreta i cap a l'esquerra. Si al costat dels decimals (a la dreta del punt, és a dir 369) no hi ha un nombre parell de xifres, és evident que quedaria una solta: en aquest cas, se li afegiria un zero. Si al costat dels enters (a l'esquerra del punt, és a dir, 5836) quedés un nombre solt, es quedaria així. A la imatge de la dreta podem veure el nombre 5836.369 dividit en grups de dues xifres; després del número 9 s'ha agregat un zero (en blau) doncs en el costat decimal no hi pot haver un grup d'una xifra (en l'exemple, aquesta separació quedaria així: 58/36.36/90)

Pas 2Paso 2: Es busca un nombre que multiplicat per si mateix (és a dir, elevat al quadrat) de com a resultat el nombre que coincideixi o que més s'aproximi per sota al primer grup de nombres de l'esquerra (en l'exemple, 58) . El resultat no pot ser més gran que 58. Un cop trobat el nombre s'agrega a la part de l'arrel. En aquest cas el nombre seria el 7, perquè 7x7 és 49. Una altra possibilitat seria 6x6, però donaria 36 (el que quedaria més allunyat de 58) i 8x8, però donaria 64 (el que excediria a 58).

Pas 3Paso 3: El nombre elegit (7) és el primer resultat de l'arrel quadrada. En el pas anterior ho escrivíem al caixetí de la dreta. Ara ho multipliquem per si mateix. El resultat (49) s'escriu sota del primer grup de xifres de l'esquerra (58), i es procedeix a restar. El resultat de la resta (58-49) és 9. Un cop obtingut el resultat de la resta, es baixa el següent grup de dues xifres (36), amb la qual cosa la xifra de l'arrel és ara la unió del resultat de la resta anterior amb les noves xifres baixades (és a dir, 936 ). Per continuar l'extracció de l'arrel quadrada multipliquem per 2 el primer resultat (7) i ho escrivim just sota d'aquest, en el següent línia auxiliar (a la imatge, el 14 està escrit just sota del 7, ja que 7x2 és 14).

Pas 4Paso 4: En aquest pas cal trobar un nombre n que, afegit a 14, i multiplicat per aquest mateix, de com a resultat un nombre igual o inferior a 936. És a dir, podria ser 141x1, 142x2, 143x3 ... i així fins 149x9. Sovint s'utilitza el procediment de tempteig per trobar aquest número, si bé es pot emprar el mètode de dividir les dues primeres xifres del residu (93) entre el nombre de la línia auxiliar (14). La primera xifra del resultat que no sigui zero, encara que sigui un decimal, és, generalment, la que busquem. El resultat s'agrega al nombre de l'arrel i al de la línia auxiliar. En aquest cas 93 dividit entre 14 és 6. De manera que l'operació cercada és 146x6 = 876 (operació que afegim al línia auxiliar). El següent resultat de l'arrel quadrada és 6. També procedim a quedar registrats en el radicat.

Pas 5Paso 5: El procediment a seguir és el mateix que anteriorment. El resultat de l'operació anterior (876) es col loca sota del nombre procedent de la resta anterior (936) i es resten. Al resultat de la resta (60) se li afegeix el següent grup de xifres del radical (en aquest cas, 36). Si el següent grup està després del punt decimal s'agrega un punt decimal al nombre de l'arrel. El nou número obtingut és 6.036.

Pas 6Paso 6: Reprenent el procediment del pas 4. La xifra de l'arrel (76) es multiplica per dos (resultant 152). Busquem un nombre que afegit a 152 i multiplicat per aquest mateix nombre ens doni una quantitat aproximada a 6036. Seria, per tant, 1521x1, 1522x2, 1523x3, etc. Ho podem fer per tempteig, o pel procediment de dividir en aquest cas, les tres primeres xifres de l'arrel per les tres primeres xifres de la línia auxiliar (noti's que abans eren les dues primeres xifres), és a dir, 603/152 ( el nombre buscat és 3, ja que el resultat és 3.9 i hem dit que la xifra que hem de prendre és la primera). L'operació a realitzar és, per tant, 1523x3. El resultat (4569) es col loca sota el darrer resta i es procedeix a trobar la diferència (que és 1467). Un cop feta la resta es baixa el següent grup de xifres i es continua el procés. Observis que el nombre a dividir entre línia auxiliar i residu va augmentat.

Pas 7Paso 7: Es continua el mateix procés, l'arrel es torna a multiplicar per dos (ignorant el punt dels decimals). El resultat de la multiplicació s'agrega al tercer línia auxiliar, es tornen a dividir els primers quatre números del residu (1467) entre el resultat de la multiplicació (152), i s'obté la següent xifra per l'arrel i el número de la línia auxiliar (9). Aquesta xifra es multiplica pel nombre del tercer línia auxiliar i se li resta al tercer residu. Es continua el procés, si ja no hi ha més xifres l'arrel s'ha acabat. En aquest cas, 76.3 es multiplica per 2 com 763 (763x2) que ens dóna un resultat de 1526. La xifra resultant és 14679 (noti's que són les primeres quatre xifres, quan abans eren les tres primeres), i es divideix entre 1526, el que ens dóna un resultat de 0.9 (com dèiem abans, es pren el primer número encara que sigui decimal, per tant, la xifra cercada és 9). El nou s'agrega al línia de l'arrel i el tercer línia auxiliar, i es multiplica 9 per 15.269, la qual cosa dóna un resultat de 137.421, aquesta xifra se li resta a 146.790 i ens dóna un resultat de 9369. L'arrel quadrada de 5836.369 és 76.39, amb un residu de 9369. Recordem que el zero és només un auxiliar. És important assenyalar també que l'operació anterior utilitzada com a exemple no és completa. Si la continuaré donaria com a resultat 76.396132 (amb sis decimals).

 Algorismes per a màquines [edita] Calculadores, fulls de càlcul i altres softwares també s'usen amb freqüència per calcular arrels quadrades. Els programes de programari posen típicament bones rutines en la seva execució per computar la funció exponencial i el logaritme natural o logaritme, computant després l'arrel quadrada de x usant la identitat: 

 o 

S'explota la mateixa identitat al computar arrels quadrades amb taules de logaritmes o regles de càlcul ...

 Extensió de les arrels [edita] 
 L'arrel quadrada en els nombres complexos [edita] 

Arrel quadrada complexa. Segona full de l'arrel quadrada complexa. Usant la superfície de Riemann de l'arrel quadrada, un pot veure com les dues fulles caben juntas.El quadrat de qualsevol nombre real positiu o negatiu és positiu, i el quadrat de 0 és 0. Per tant, cap nombre negatiu pot tenir una arrel quadrada en els nombres reals. Tanmateix, és possible treballar amb un sistema més gran de nombres, anomenats els nombres complexos, que contenen solucions a l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. Això és fet introduint un nou número, denotat per i (de vegades j, especialment en el context de l'electricitat) i anomenat unitat imaginària, que es defineix tal que. Utilitzant aquesta notació podem pensar en i com l'arrel quadrada de -1, però notem que també tenim, de manera que (-i) és també una arrel quadrada de -1. Semblantment als números reals, diem que l'arrel quadrada principal de -1 és i, o, en general, si x és qualsevol nombre real positiu, llavors en l'arrel quadrada principal-x es compleix la següent igualtat:

és a dir, l'arrel quadrada d'un nombre negatiu és necessàriament imaginari. Això és degut al fet que, per la qual cosa llavors:

Si es desitja trobar l'arrel d'un nombre imaginari és possible demostrar la igualtat

Per els arguments donats, i no pot ser ni positiu ni negatiu. Això crea un problema: per al nombre complex z, no podem definir per ser l'arrel quadrada "positiva" de Z.

Per a cada nombre complex diferent a zero z existeixen exacte dos números W tals que. Per exemple, les arrels quadrades de i són:

i

La definició de està introduint el següent punt de branca: si z = r eiφes representat en coordenades polars amb-π <φ ≤ π, després fixem el valor principal a:

Així definit, la funció de l'arrel és holomorfas a tot arreu excepte en els nombres reals no positius, on no és fins i tot contínua. La abans esmentada sèrie de Taylor per segueix sent vàlida per a la resta dels números complexos x amb | x | <1.

En general, per un nombre complex expressat en forma rectangular, s'obté:

on (el valor absolut o mòdul del nombre complex), i el signe de la part imaginària de l'arrel coincideix amb el signe de la part imaginària del radicat. Noteu que degut a la naturalesa discontínua de la funció de l'arrel quadrada en el pla complex, la llei és en general falsa. És incorrecte si s'assumeix que aquesta llei és la base de diverses demostracions invàlides, per exemple el de demostrar que:

on la tercera igualtat no pot ser justificada.

Aquest problema pot presentar-se com un ús erroni de l'arrel quadrada principal de notació √ definit en el principi de l'article, o descuidar explicar el punt de branca o descuidant explicar la branca tallada en la definició de l'arrel quadrada complexa d'una funció. Amb el concepte general (dos valors) de l'arrel quadrada, és de fet veritat que una de les dues arrels quadrades de 1 és -1.

No obstant això, la llei pot ser només incorrecta per un factor -1 (és cert excepte un factor -1), √ (ZW) = ± √ (z) √ (w), és cert o per ± com + o com -. Noti's que √ (c ²) = ± c, per tant √ (a ² b ²) = ± ab i per tant √ (ZW) = ± √ (z) √ (w), usant a = √ (z) and b = √ (w).

Cada número complex es pot escriure en la seva forma polar com reiθ, i ja que

llavors és fàcil veure que

 Arrel quadrada de matrius [edita] L'existència d'un producte de matrius permet definir l'arrel d'una matriu com aquella matriu que multiplicada per si mateixa dóna l'original. 

Si A és una matriu definida positiva o operador, aleshores hi ha exactament una matriu definida positiva o operador B tal que B2 = A; aleshores definim

Més generalment, per a cada matriu o operador normal A existeixen operadors normals B tals que B2 = A. En general, hi ha molts d'aquests operadors B per a cada A i llavors la funció arrel quadrada no pot ser definida satisfactòriament per operadors normals. En certa manera es pot dir que els operadors definits positius són similars als nombres reals positius, i els operadors normals són similars als nombres complexos.

 Construcció geomètrica de l'arrel quadrada [edita] Una arrel quadrada pot ser construïda amb regle i compàs. En els seus Elements, Euclides (300 AC) va donar la construcció de la mitjana geomètrica de dues quantitats en les seves proposicions II.14 i VI.13. Atès que la mitjana geomètrica de aib és, un pot construir simplement prenent b = 1. 

La construcció també va ser donada per Descartes en el seu llibre La Géométrie, vegeu la figura 2 en la segona pàgina. No obstant això, Descartes no afirmo originalitat i la seva audiència hauria estat bastant familiaritzada amb Euclides.

Un altre mètode de construcció geomètrica utilitza triangles rectes i inducció: pot, per descomptat, ser construït, i una vegada que ha estat construït, el triangle recte amb 1 i com catets, té una hipotenusa d'.

 Passos a seguir per a la construcció geomètrica [edita] 

AO = 1, OB = a, OH = xPara calcular l'arrel quadrada d'un nombre mitjançant una construcció geomètrica els passos a seguir són els següents:

Tracem un segment de la longitud del nombre que volem calcular la seva arrel quadrada. Estenem aquest segment de mesura en 1 a la unitat de mesura que haguem pres l'altre, de manera que tinguem el segment de mesura. Tracem un cercle que tingui com a diàmetre aquesta mesura. En el punt, que és on comença l'extensió de mesura 1 en el segment, tracem una línia perpendicular al segment traçat i la línia obtinguda que va del punt fins a tocar la circumferència al punt té com a mesura. Aquesta construcció té la seva importància en l'estudi dels números constructives.

 Demostració que OH és igual a l'arrel quadrada de OB [edita] Abans de demostrar la igualtat primer cal demostrar que els triangles i són triangles semblants a partir d'un sistema d'equacions però prenent abans certes consideracions: 

L'angle en la seva totalitat té 90 º a causa de la propietat que diu: tot triangle construït en un cercle ocupant un dels seus costats la diagonal íntegra, els dos vèrtexs siguin els costats oposats de la diagonal presa i l'altre un punt qualsevol de la circumferència, ha de tenir l'angle que no toca la diagonal en qüestió sempre una obertura de 90 º. Ja que en els passos seguits passa la seva construcció la línia havia de ser expressament perpendicular a llavors els dos angles formats amb, tant el dret com l'esquerre que en conjunt sumen a aquest, han de tenir cadascun 90 º. La suma de tots els costats d'un triangle dóna com a resultat 180 º. Ara tenint en compte tot això construïm el següent sistema d'equacions:

On és l'angle superior del triangle esquerre del qual desconeixem la seva obertura, les altres lletres representen els altres angles que desconeixem i l'angle es pot representar com la resta de ja que 90 º és el valor de sencer. En resoldre la primera equació veiem que:

. Amb el que ja vam demostrar que aquests angles mesuren el mateix i en resoldre el segon:

. Amb el que l'ésser es treu que i amb això queda demostrat que en mesurar tots els angles el mateix són triangles semblants de manera ~. Al posseir aquesta semblant als costats dels triangles tenen una proporcionalitat igual per als tres costats tal que:

Recordant que en construir geomètricament l'arrel sempre valia 1, amb el que agafant el que ens interessa desenvolupem:

. Quedant demostrada la construcció.

 Propietats [edita] 
 Propietats generals [edita] Article principal: Propietats de la radicació 
 

Gràfica de l'equació: y2 = xLa funció arrel quadrada és una funció el domini i imatge és el conjunt (el conjunt de tots els nombres reals no negatius). Aquesta funció torna un valor que és únic. Les següents propietats de l'arrel quadrada són vàlides per a tots els nombres reals no negatius x, y:

La funció arrel quadrada, en general, transforma nombres racionals en nombres algebraics; és racional si i només si és un nombre racional que es pot escriure com a fracció de dos quadrats perfectes. Si el denominador és, aleshores es tracta d'un nombre natural. No obstant això, és irracional. La interpretació geomètrica és que la funció arrel quadrada transforma la superfície d'un quadrat en la longitud del seu costat. Contràriament a la creença popular, no necessàriament és igual a x. La igualtat es manté només per als números no negatius x, però quan x <0, és un número positiu, i llavors. Per tant, per a tots els nombres reals x (vegi's valor absolut). Suposeu que xya són nombres reals, i que x2 = a, i es desitja trobar x. Un error molt comú és "prendre l'arrel quadrada" i deduir que. Això és incorrecte, perquè l'arrel quadrada de x2 no és x, sinó el valor absolut, una de les regles descrites anteriorment. Després de llavors, tot el que es pot concloure és que, o equivalentment. En càlcul, quan es prova que la funció arrel quadrada és contínua o derivable, o quan es calculen certs límits, la següent igualtat és molt útil (consisteix en multiplicar i dividir pel conjugat, vegeu Binomi conjugat):

i és vàlida per a tots els números no negatius xey que no siguin ambdós zero. La funció és contínua per a tots els números no negatius x, y derivable per a tots els nombres positius x (no és derivable per x = 0 ja que la pendent de la tangent aquí és ∞). Seva derivada està donada per

Les Sèries de Taylor al voltant ax = 0 es poden trobar utilitzant el Teorema del binomi:

per.

 Radicals jerarquitzats quadrats [edita] Article principal: Radical jerarquitzat 

La identitat implica que, i per repeticions successives:

Per raons anàlogues s'obté:

o que

... Si r és una entitat estrictament superior a un,

Aquesta forma d'expressar números mitjançant la repetició successiva de nombres continguts dins d'arrels quadrades pot tenir diverses aplicacions com la resolució d'alguns tipus de equació o l'expressió d'alguns números famosos com el nombre auri o el nombre pi.

 Fraccions contínues [edita] Article principal: Fracció contínua 

Un dels resultats més intrigants de l'estudi de nombres irracionals com fraccions contínues va ser obtingut per Joseph-Louis Lagrange prop de 1780. Lagrange va descobrir que l'arrel quadrada de qualsevol nombre enter positiu no quadrat es pot representar per una fracció contínua periòdica, és a dir, on passa un patró d'dígits repetidament en els denominadors. En un sentit aquestes arrels quadrades són nombres irracionals molt més simples, perquè poden ser representades amb un patró de dígits de repetició simple.

 Aproximacions senceres [edita] Els dissenyadors de presentacions de videojocs tenen a vegades necessitat de construir taules de parts senceres de les arrels quadrades dels enters naturals. Les primeres donades per: 

QUADRAT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27 ARREL 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5

Una observació dels primers termes posen de manifest que la construcció per d'sencers en sencers, i se salta successivament un increment de manera regular. Més precisament:

El zero és repetit una vegada. L'1 tres vegades. El 2 cinc vegades El 3 set vegades. El 4 nou vegades. El nombre de vegades que el sencer n és repetit és el n-ésima sencer senar. La prova rau sobre la identitat següent:

 Arrels quadrades útils [edita] Article principal: Annex: Arrels quadrades 
 

Arrel quadrada de 2.

 Arrel quadrada de 2 [edita] Article principal: Arrel quadrada de 2 

Potser l'arrel quadrada més útil és, també coneguda com a constant pitagòrica, que és geomètricament la mesura de la hipotenusa d'un triangle rectangle els dos catets mesuren la unitat (veure imatge), es pot demostrar mitjançant el teorema de Pitàgores:

Probablement l'arrel quadrada de 2 va ser el primer nombre irracional descobert. El valor d'aquest número amb 10 xifres decimals per truncament és 1,4142135623

 Arrel quadrada de 3 [edita] 

Mesura arrel quadrada de 3, la diagonal d'un cub les arestes mesuren 1.Artículo principal: Arrel quadrada de 3 L'arrel quadrada de 3:, també coneguda com a constant de Theodorus, és geomètricament el valor de la diagonal d'un cub les arestes mesuren la unitat, podent demostrar amb el teorema de Pitàgores. També és la hipotenusa d'un triangle rectangle els catets mesuren 1 i arrel quadrada de 2. El valor d'aquest número amb 10 xifres decimals per truncament és 1,7320508075

 Arrel quadrada de 5 [edita] Article principal: Arrel quadrada de 5 

L'arrel quadrada de 5:, apareix en la fórmula del nombre auri, i és geomètricament la hipotenusa d'un triangle els catets mesuren 1 i 2 respectivament, comprovant mitjançant el teorema de Pitàgores. El seu valor amb 10 xifres decimals per truncament és 2,2360679774

 Notes [edita] ↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag. 

↑ Joseph, G.G., cap. 8. ↑ Smith, D.E., pag. 148. ↑ Boyer, Carl Benjamin. Història de la matemàtica, trad: Mariano Martínez Pérez, Alianza Editorial, 1992, Pàg 360, ISBN 84-206-8094-X i ISBN 84-206-8186-5. ↑ Ifrah, Georges. Història universal de les xifres, Espasa-Calpe, 1997, Pàg 1452, ISBN 978-84-239-9730-5 i ISBN 84-239-9730-8.

 Referències [edita] Stewart, James (2006). Càlcul: Conceptes i contextos. Mèxic D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 i ISBN 978-970-686-543-4. 

Joseph, George Gheverghese (2000). The crest of the Peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del paó: Arrels no europees de les matemàtiques). Londres. ISBN 0-691-00659-8 i ISBN 978-0-691-00659-8. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Història de les matemàtiques, vol 2, assumptes especials de les matemàtiques elementals). Boston. ISBN 0-486-20430-8 i ISBN 978-0-486-20430-7. Anglin, W.S. (Desembre de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemàtiques: Una història i una filosofia concises). New York. ISBN 0-387-94280-7 i ISBN 978-0-387-94280-3.

 Vegeu també [edita] Quadrat (aritmètica) 

Formes de resoldre l'arrel quadrada Funció exponencial Funció arrel Arrel quadrada de 2 Arrel quadrada de 3 Arrel quadrada de 5 Arrel cúbica Arrel de la unitat Radical jerarquitzat Residu quadràtic Racionalització de radicals Propietats de la radicació

 Enllaços externs [edita] Commons 

 Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu Arrel quadrada. 

Wiktionary

 Wiktionary té definicions per arrel. 

Generador de fulls d'exercicis d'arrels quadrades: [1] Programa java per trobar l'arrel quadrada de nombres enters amb moltíssimes xifres decimals: [2] Obtingut de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ra% C3% ADz_cuadrada" Categories: Aritmètica | Matemàtica elemental | Arrels VistasArtículo Discussió Edita Historial Eines personalesRegistrarse / crea un compte Cerca

     Navegació 

Portada Portal comunitari Actualitat Canvis recents Pàgina aleatòria Ajuda Donacions Crear un llibre Afegeix aquesta pàgina Ajuda de llibres Eines Què hi enllaça Seguiment d'enllaços Carrega Pàgines especials Versió per imprimir Enllaç permanent Versió en PDF Citau aquest article altres projectes Commons Wiktionary En altres idiomes العربية Català Česky Dansk Deutsch English Esperanto Eesti Euskara Suomi Français Galego עברית Magyar Íslenska Italià 日本语 ქართული 한국어 Latviešu മലയാളം मराठी Bahasa Melayu Nederlands ‪ Norsk (bokmål) ‬ Português Русский Simple English Slovenščina Српски / Srpski Basa Sunda Svenska Türkçe Українська יידיש Yorùbá 中文

Aquesta pàgina ha estat modificada per última vegada el 20:13, 15 jul 2009. El text és disponible sota la llicència Creative Commons Compartir Igual 3.0; clàusules addicionals poden ser d'aplicació. Vegeu els termes d'ús per als detalls. Política de privadesa Quant al projecte Viquipèdia Avís de responsabilitat