Axioma d'Arquimedes

Il·lustració de la propietat arquimediana

L'axioma d'Arquimedes va ser enunciat per Arquimedes de Siracusa en la seva obra De l'esfera i el cilindre, encara que anteriorment va ser utilitzat per Èudox de Cnidos, per la qual cosa també es coneix com a axioma d'Èudox. Originalment va ser enunciat amb segments, és a dir, donats dos segments A i B, on A de longitud menor que B, sempre és possible obtenir un segment més gran que B, traçant A un nombre suficient de vegades. Això que es fa amb longituds, s'estén al cas d'àrees, volums, magnituds i nombres positius. En ell es basa l'algorisme d'Euclides de la divisió euclidiana.

Quan en una estructura algebraica es compleix l'axioma d'Arquímedes, es diu que aquesta estructura és arquimediana o que té la propietat arquimediana. La propietat arquimediana és important en la construcció dels nombres reals.

Exemples

• (ℕ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℕ⁺) (∀y∈ℕ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• (ℤ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℤ⁺) (∀y∈ℤ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• El cos ordenat i commutatiu (ℚ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℚ⁺) (∀y∈ℚ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).
• El cos ordenat, commutatiu i complet (ℝ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℝ⁺) (∀y∈ℝ) (∃n∈ℕ⁺) (y<n⋅x).

Com a exemple, demostrem això últim. En efecte, raonem per reducció a l'absurd. Suposem que (∃x∈ℝ⁺) (∃y∈ℝ) (∀n∈ℕ⁺) (y ≥ n⋅x), és a dir, el conjunt A ={x, 2x, 3x, ...} està fitat superiorment (per y). A causa de l'axioma del suprem, aquest conjunt té suprem s. Com que x>0, s-x < s, i per tant s-x ∉ CS (A), així que hi ha un element de A, a la dreta de s-x, és a dir, (∃n₀ ∈ ℕ⁺) (s-x < n₀⋅x). D'aquí, s < (n₀+1)⋅x, i com (n₀+1)⋅x∈A, es té que s no és el suprem de A (ni tan sols seria fita superior de A), en contra que sí que ho és.

Un exemple de cos no arquimedià seria ℚ_p, és a dir, el dels nombres p-àdics.

Exercici resolt

És cert que (∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7/(7n+1) <x)?

Això és equivalent a «(∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7 <(7n+1) x)». La propietat arquimediana, si y = 7, assegura (∀x∈ℝ⁺) (∃n∈ℤ⁺) (7<n⋅x), com x>0, n⋅x < (7n+1)⋅x, obtenint el resultat requerit.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Axioma d'Arquimedes

Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8.