Axioma d'Arquimedes

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Principi d'Arquimedes».

L'axioma d'Arquimedes va ser enunciat per Arquimedes en la seva obra Esfera i cilindre, encara que anteriorment va ser utilitzat per Èudox de Cnidos, per la qual cosa també es coneix com axioma d'Èudox. Originalment va ser enunciat amb segments, és a dir, donats dos segments A i B, on A de longitud menor que B, sempre és possible obtenir un segment més gran que B, traçant A un nombre suficient de vegades. Això que es fa amb longituds, s'estén al cas de àrees, volums, magnituds i nombres positius. En ell es basa l'algorisme d'Euclides de la divisió euclidiana.

  • (ℕ,+, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀ xε ℕ +) (∀ yε ℕ) (∃ nε ℕ + ) (i <nx).
  • (ℤ,+, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀ xε ℤ +) (∀ yε ℤ) (∃ nε ℕ + ) (i <nx).
  • El cos ordenat i commutatiu (ℚ,+, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀ xε ℚ +) (∀ yε ℚ) (∃ nε ℕ +) (i <nx).
  • El cos ordenat, commutatiu i complet (ℝ,+, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀ xε ℝ +) (∀ yε ℝ ) (∃ nε ℕ +) (i <nx).

Com a exemple, demostrem això últim. En efecte, raonem per reducció a l'absurd. Suposem que (∃ xε ℝ +) (∃ yε ℝ) (∀ nε ℕ +) (i ≥ nx), és a dir, el conjunt A ={x, 2x, 3x, ...} està fitat superiorment (per i). A causa de l'axioma del suprem, aquest conjunt té suprem s. Com que x> 0, s-x <s, i per tant s-x ∉ CS (A), així que hi ha un element de A, a la dreta de s-x, és a dir, (∃ n 0 ε ℕ +) (s-x <n 0 x). D'aquí, s <(n 0 +1) x, i com (n 0 +1) xεA, s'ha de s no és el suprem de A ( ni tan sols seria fita superior de A), en contra que sí que ho és.

Exercici resolt
  1. ¿(∀ xε ℝ +) (∃ nε ℤ +) (7/(7N+1) <x)?
    Això és equivalent a ¿(∀ xε ℝ +) (∃ nε ℤ +) (7 <(7N+1) x)? La propietat arquimediana, si i = 7, assegura (∀ xε ℝ +) (∃ nε ℤ +) (7 <nx), com x> 0, nx <(7N+1) x, obtenint el resultat requerit.

Font[modifica | modifica el codi]

Aquest article correspon a una entrada del web EpistemoWiki, publicat en domini públic o bé, sota la Llicència de documentació lliure Compartir-Igual 3.0.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8. 

Referències[modifica | modifica el codi]