Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) $\ \mathbb{P}$ és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat $\ \mathbb{P}(A)$). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogorov, nomenats així en honor a Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat $\ \mathbb{P}$ sempre es defineix sobre un espai mesurable $\left(\Omega, \mathcal A\right),$ és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra $\mathcal A$ de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra $\mathcal A$ s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat $\ \mathbb{P}$ és una aplicació de $\mathcal A$ en $\mathbb R.$

Primer axioma

Per a tot esdeveniment $\ A$:

$0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma

Si $\ \Omega$ designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

$\ \mathbb{P}(\Omega) = 1$,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_i)$.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

• $\mathbb{P}(\emptyset)=0.$

demostració 

Fent servir el 3er axioma amb $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ per a tot $\scriptstyle\ k.\$ s'obté $\mathbb{P}(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}(\emptyset),$ relació que no es pot satisfer si $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)\in]0,1],\$ ja que llavors el terme de dreta val $\scriptstyle\ +\infty.\$ >Per tant no hi ha altra opció que $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)=0,\$.

 

• Si $\ A$, $\ B$ són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).$

• De forma més general, si $\ (A_k)_{1\le k\le n}$ és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).$

Demostració 

Fent servir el 3er axioma amb $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ per a tot $\scriptstyle\ k\ge n+1.\$ s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que $\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,$

per tant

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),$

però en virtut del tercer axioma

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}\left(A_k\right)$ i finalment, ja que per a tot $\scriptstyle\ k\ge n+1,\$ $\mathbb{P}\left(A_k\right)=\mathbb{P}\left(\emptyset\right)=0,\$ s'obté el resultat desitjat.

 

• $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència $\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$. Aquesta relació es desprèn de que B és reunió disjunta de $B \setminus A$ i de $A \cap B.$

• En particular, si $A \subset B$, llavors

$\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on $A \subset B$, la propietat precedent s'escriu

$\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A),\$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

• En el cas particular on $B=\Omega,$ això dóna que, per a tot esdeveniment $\ A$,

$\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 - \mathbb{P}(A)$

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat de que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

• Per a tots els esdeveniments $\ A$, $\ B$

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B).$

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments $A$ o $B$ es realitzi és igual a la suma de les probabilitats de que $\ A$ es realitzi, i perquè $\ B$ es realitzi, menys la probabilitat de que $\ A$ i $\ B$ es realitzin de manera simultània. També,

$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(C \cap A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).$

• Aquestes dues últimes fórmules són casos particulars (n=2,3) del principi d'inclusió-exclusió

$\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),$

que dóna la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts .

Límits creixents i decreixents

• Tota successió creixent d'esdeveniments $A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Demostració 

Es posa $B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.$

Llavors els $B_i$ són disjunts i verifiquen

$\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.$

Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que

$\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^n \mathbb{P}(B_k)=\mathbb{P}(A_n).$ Llavors $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n)$ no és més que la definició de la suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.

 

• Tota successió decreixent d'esdeveniments $A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots$ satisfà:

$\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, $\mathbb{P}$, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

$\mathbb{P}(\Omega)=1.$

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.