Axiomes de probabilitat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) \ \mathbb{P} és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat \ \mathbb{P}(A)). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor a Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat \ \mathbb{P} sempre es defineix sobre un espai mesurable \left(\Omega, \mathcal A\right), és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra \mathcal A de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra \mathcal A s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat \ \mathbb{P} és una aplicació de \mathcal A en \mathbb R.


Primer axioma[modifica | modifica el codi]

Per a tot esdeveniment \ A:

0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma[modifica | modifica el codi]

Si \ \Omega designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

\ \mathbb{P}(\Omega) = 1,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma[modifica | modifica el codi]

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), A_1,\, A_2, \dots satisfà:

\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_i).

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències[modifica | modifica el codi]

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

  • \mathbb{P}(\emptyset)=0.


  • Si \ A, \ B són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors
\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).
  • De forma més general, si \ (A_k)_{1\le k\le n} és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors
\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).


  • \mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B);

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B). Aquesta relació es desprèn de que B és reunió disjunta de B \setminus A i de A \cap B.

  • En particular, si A \subset B, llavors
\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on A \subset B, la propietat precedent s'escriu

\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A),\ où le premier terme est clairement positif ou nul.
  • En el cas particular on B=\Omega, això dóna que, per a tot esdeveniment \ A,
\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 - \mathbb{P}(A)

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

  • Per a tots els esdeveniments \ A, \ B
\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B).

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments A o B es realitzi és igual a la suma de les probabilitats de que \ A es realitzi, i perquè \ B es realitzi, menys la probabilitat que \ A i \ B es realitzin de manera simultània. També,

\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(C \cap A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).
\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),

que dóna la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents[modifica | modifica el codi]

  • Tota successió creixent d'esdeveniments A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots satisfà:
\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.


  • Tota successió decreixent d'esdeveniments A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots satisfà:
\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura[modifica | modifica el codi]

Article principal: Teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, \mathbb{P}, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

\mathbb{P}(\Omega)=1.

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.