Bandera de subespais

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, i en particular en el camp de l'àlgebra lineal, una bandera és una successió creixent de subespais d'un espai vectorial V de dimensió finita. El terme «creixent» fa referència al fet que cada subespai és un subespai propi (no igual) del següent (vegeu Filtració (matemàtiques)):

\{0\} = V_0 \sub V_1 \sub V_2 \sub \cdots \sub V_k = V.

Si escrivim dim Vi = di llavors tenim

0 = d_0 < d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n,

on n és la dimensió de V (que hem assumit que és finita). Per tant, tenim que kn. Hom diu que una bandera és una bandera completa si di = i, altrament s'anomena bandera parcial.

Hom pot obtenir una bandera parcial a partir d'una bandera completa, només eliminant alguns dels seus subespais. Recíprocament, qualsevol bandera parcial es pot completar (de diverses maneres) mitjançant la inserció de subespais adients.

La signatura de la bandera és la successió (d1, …, dk).

Sota certes condicions, hom pot interpretar aquesta successió com una bandera, a la qual s'obté un punt connectat amb una línia, que al seu torn està connectada a una superfície.

Bases[modifica | modifica el codi]

Hom diu que una base ordenada de V està adaptada a una bandera si els primers di vectors de la base formen una base de Vi, per tot 0 ≤ ik. Mitjançant arguments d'àlgebra lineal es pot demostrar que qualsevol bandera té una base adaptada.

Qualsevol base ordenada proporciona una bandera completa, si definim cada Vi com l'espai vectorial generat pels primers i vectors de la base. Per exemple, la bandera canònica de ℝn està induïda per la base canònica (e1, ..., en).[nota 1] Concretament, la bandera canònica consta dels subespais:

\{0\} \subset \left\langle e_1\right\rangle \subset \left\langle e_1,e_2\right\rangle \subset \cdots \subset \left\langle e_1,\ldots,e_n \right\rangle = K^n.

Una base adaptada gairebé mai és única (contraexemples trivials); vegeu més endavant.

Una bandera completa sobre un espai prehilbertià té, essencialment, una única base ortonormal: és única llevat de multiplicar cada vector per una unitat (és a dir, un escalar de magnitud u, com ara 1, -1 o i). Això es pot demostrar per inducció, si tenim en compte que v_i \in V_{i-1}^\perp < V_i, que es defineix en forma única llevat d'unitats.

De forma més abstracta, és única llevat de l'acció del tor maximal: la bandera correspon al grup de Borel, i el producte intern correspon al subgrup compacte maximal.

Estabilitzador[modifica | modifica el codi]

El subgrup estabilitzador de la bandera canònica és el grup de matrius triangulars superiors.

Més en general, l'estabilitzador d'una bandera (els operadors lineals T sobre V tals que T(V_i) \subset V_i per tot i) és, en termes matricials, l'àlgebra de les matrius triangulars superiors per blocs (respecte a una base adaptada), on els blocs són de grandària d_i-d_{i-1}. El subgrup estabilitzador d'una bandera completa és el conjunt de matrius triangulars superiors invertibles respecte a qualsevol base adaptada a la bandera. El subgrup de matrius triangulars inferiors respecte a una base adaptada depèn d'aquesta base, i per tant no es pot caracteritzar només en termes de la bandera.

El subgrup estabilitzador d'una bandera completa és un subgrup de Borel (del grup lineal general), i l'estabilitzador d'una bandera parcial és un subgrup parabòlic.

El subgrup estabilitzador d'una bandera actua de forma simplement transitiva sobre bases adaptades per la bandera, i per tant no són úniques, llevat que l'estabilitzador sigui trivial. Aquesta és una circumstància excepcional: només succeeix per un espai vectorial de dimensió 0, o bé per un espai vectorial sobre \mathbb{F}_2[nota 2] de dimensió 1 (justament els casos en què només existeix una base, independentment de les banderes).

Filtracions[modifica | modifica el codi]

Article principal: Filtració (matemàtiques)

En el cas d'un espai vectorial V de dimensió infinita, d'ús a l'anàlisi funcional (per exemple), el concepte de bandera es generalitza a filtració, és a dir, una col·lecció de subespais de V que configuren un ordre total respecte a la inclusió, i que a més és tancat per interseccions arbitràries i per la generació de subespais vectorials.

Anàlegs a teoria de conjunts[modifica | modifica el codi]

Article principal: Cos amb un element

Des del punt de vista del cos amb un element, es pot interpretar un conjunt com un espai vectorial sobre el cos amb un element: això formalitza diverses analogies entre els grups de Coxeter i els grups algebraics.

Amb aquesta identificació, una ordenació d'un conjunt correspon a una bandera maximal: per exemple, la filtració (la bandera) \{0\} \subset \{0,1\} \subset \{0,1,2\} correspon a l'ordenació \{0,1,2\}.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. ei denota el vector que conté un 1 en la i-sima posició, i 0 altrament.
  2. F2 és el grup finit de dos elements.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]