Barrera de potencial

En mecànica quàntica, la barrera de potencial finita és un problema model mono-dimensional que permet demostrar el fenomen de l'efecte túnel. Per a això es resol l'Equació de Schrödinger independent del temps per a una partícula que incideix sobre una barrera de potencial.

Característiques del moviment

Des del punt de vista clàssic, si l'energia de la partícula és menor que la barrera sempre SERÀ reflectida, és a dir, rebotada. Mentre que si l'energia és major que la de la barrera sempre la passarà. El comportament quàntic esperat és molt diferent del clàssic. De fet succeeix que quànticament hi ha sempre una probabilitat finita que la partícula "penetri" la barrera i continuï viatjant cap a l'altre costat, fins i tot quan l'energia de la partícula és menor que la de la barrera. La probabilitat que la partícula passi a través de la barrera ve donada pel coeficient de transmissió, mentre que la probabilitat que la partícula sigui reflectida ve donada pel coeficient de reflexió.

Deducció

L'equació de Schrödinger independent del temps en una dimensió és

$H\psi(x)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x),$

on $H$ és el hamiltonià, $\hbar$ és la constant de Planck reduïda, $m$ és la massa de la partícula, $E$ és l'energia de la partícula i

Col·lisió d'una partícula amb una barrera de potencial finit d'altura $V_0$. S'indiquen les amplituds i sentit (cap a la dreta i cap a l'esquerra) de les ones. Es representen en vermell aquelles ones usades per obtenir les amplituds de les ones reflectides i transmeses. A la il·lustració es considera el cas $E>V_0$.

(1) $V(x)= \begin{cases} 0 & \mbox{si } x <0 \\ V_0 & \mbox{si } 0 \le x \le a \\ 0 & \mbox{si } x > a \\ \end{cases}$

és la barrera de potencial d'altura $V_0 > 0$ i amplada $a$.

(Una forma més elegant d'expressar el potencial és en funció de la Funció esglaó de Heaviside, definida per $\Theta(x)=0,\; x<0;\; \Theta(x)=1,\; x>0\,$. Entonces, el potencial se expresa como $V(x)=V_0[\Theta(x)-\Theta(x-a)]\,$).

Amb aquesta elecció de l'origen de coordenades, la barrera es troba entre $x=0$ i $x=a$. Tanmateix, és possible qualsevol altra elecció de l'origen de coordenades sense que canviïn els resultats.

La barrera divideix l'espai a tres zones, corresponents a $x<0, 0 < x < a, x>0\,$. A cada una d'aquestes zones el potencial és constant, el que significa que la partícula és quasi-lliure. Així, la solució general es pot escriure com una superposició d'ones movent-se cap a la dreta i cap a l'esquerra. Per al cas en el qual la partícula té una energia menor que la de la barrera ($E<V_0$), tindrem

(2) $\psi(x)= \begin{cases} A_r e^{i k_0 x} + A_l e^{-ik_0x} & \mbox{si } x <0 \\ B_r e^{k_1 x} + B_l e^{-k_1x} & \mbox{si } 0 \le x \le a \\ C_r e^{i k_0 x} + C_l e^{-ik_0x} & \mbox{si } x > a \\ \end{cases}$

on el nombre d'ones està relacionat amb l'energia

(3) $\begin{cases} k_0=\sqrt{2m E/\hbar^{2}} & \mbox{si } x <0 \qquad o \qquad x > a \\ k_1=\sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}} & \mbox{si } 0 \le x \le a \\ \end{cases}$

La relació entre els coeficients $A, B, C$ s'obté de les condicions de contorn de la funció d'ona en $x=0$ and $x=a$.

Així, les condicions de continuïtat de la funció d'ona i de la seva primera derivada s'expressen com a:

(4) $\begin{cases} \lim_{x \to 0^-}\psi(x)=\lim_{x \to 0^+}\psi(x) \\ \lim_{x \to 0^-}\frac{d}{dx}\psi(x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{d}{dx}\psi(x) \\ \lim_{x \to a^-}\psi(x)=\lim_{x \to a^+}\psi(x) \\ \lim_{x \to a^-}\frac{d}{dx}\psi(x)=\lim_{x \to a^+}\frac{d}{dx}\psi(x) \\ \end{cases}$

Tenint en compte l'expressió de la funció d'ona, les condicions de contorn imposen les següents relacions entre els coeficients

(5) $\begin{cases} A_r+A_l=B_r+B_l, \\ ik_0(A_r-A_l)=k_1(B_r-B_l), \\ B_re^{ak_1}+B_le^{-ak_1}=C_re^{iak_0}+C_le^{-iak_0}, \\ k_1(B_re^{ak_1}-B_le^{-ak_1})=ik_0(C_re^{iak_0}-C_le^{-iak_0}) \\ \end{cases}$

Coeficient de transmissió

Probabilitat de transmissió a través d'una barrera de potencial finita per a $\sqrt{2m V_0}a/\hbar=7$. Línia discontínua: resultat clàssic. Línia sòlida: resultat meccano quàntic.

El coeficient de transmissió es defineix com la relació entre el fluix o densitat de corrent de l'ona transmesa i el fluix de l'ona incident. S'utilitza habitualment per obtenir la probabilitat que una partícula passi a través d'una barrera per efecte túnel.

Així.

$T = \frac{|j_{\mbox{transmesa}}|}{|j_{\mbox{incident}}|}$

on j_incident és la densitat de corrent en l'ona que incideix abans d'assolir la barrera i j_transmesa la densitat de corrent en l'ona transmesa en l'altre costat de la barrera.

La densitat de corrent associat amb l'ona plana incident és

$j_{\mbox{incident}} =|A_r|^2 \frac{\hbar k_0}{m}$

mentre que l'associada amb l'ona plana transmesa

$j_{\mbox{transmesa}} =|C_r|^2 \frac{\hbar k_0}{m}$

D'aquesta forma, el coeficient de transmissió s'obté de la relació entre els quadrats de les amplituds de les ones incident i transmesa

$T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2}$

És interessant presentar una expressió aproximada per al coeficient de transmissió per al cas en el qual l'energia de la partícula $E$ és menor que la de la barrera $V_0$. Per a això considerem una barrera amb una amplada $a$ gran. Si $a\rightarrow \infty$, el coeficient $B_r$ tendirà a zero per compensar que l'exponencial $e^{k_1 x}$ tendeix a infinit. Així, la condició de continuïtat de la funció d'ona en $x=a$ s'expressa en aquest cas simplificat com

$C_r e^{i k_0 a} = B_l e^{-k_1 a} \rightarrow|C_r|^2 = |B_l|^2 e^{-2 k_1 a}$

D'aquesta manera, si $E < V_0$, el coeficient de transmissió depèn de l'amplada de la barrera $a$ de forma exponencial

$T =\frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} \sim \frac{|B_l|^2}{|A_r|^2} e^{-2 k_1 a}$

Per obtenir la dependència amb l'energia, hem de resoldre el sistema d'equacions (5), a fi de relacionar $B_l$ amb $A_r$.

$B_l = \frac{2 i k_0}{ik_0-k_1} A_r$

Així

$T \sim \frac{4 k_0^2}{k_0^2+k_1^2} e^{-2 k_1 a} = \frac{4E}{V_0} e^{-2 \sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}} a}$

Solucions exactes

Representació de la part real, part imaginària i la densitat de probabilitat d'un estat estacionari $\Psi(x,t)=\psi(x) e^{-iEt/\hbar}$ amb $E < V_0$. Es noti que la densitat de probabilitat no varia amb el temps.

$E < V_0$

En aquest cas $k_1=\sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}}$

$T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} = \frac{4k_0^2 k_1^2}{4k_0^2 k_1^2 + (k_0^2 + k_1^2)^2 \sinh^2 k_1 a} = \frac{4E(V_0-E)}{4E(V_0-E)+V_0^2\sinh^2(k_1 a)}$

$E > V_0$

En aquest cas $k_1=\sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^{2}}$

$T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} = \frac{4k_0^2 k_1^2}{4k_0^2 k_1^2 + (k_0^2 - k_1^2)^2 \sin^2 k_1 a} = \frac{4E(E-V_0)}{4E(E-V_0)+V_0^2\sin^2(k_1 a)}$

Bibliografia

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu i Frank Laloë. Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement des sciences (Hermann), 1977. ISBN 2-7056-5767-3. 

Enllaços externs

• Barrera de potencial pas a pas