Base (topologia)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una base β d'un espai topològic X amb topologia T , és una col·lecció d'oberts de T encarregada de verificar que tot obert de la topologia T pot expressar com unió dels elements de β .

Diem que la base genera la topologia T i als elements de β les anomenem oberts bàsics. Les bases són de gran utilitat, ja que moltes propietats de les topologies poden reduir-se a afirmacions sobre una base que generi aquesta topologia.

Una família arbitrària de subconjunts no formarà a priori una base de cap topologia, per fer-ho haurà de reunir una sèrie de requisits.

Existeix una manera alternativa de generar una topologia a partir d'una família arbitrària de subconjunts, usant interseccions finites a més de les unions arbitràries. En aquest cas, la família de subconjunts rep el nom de subbase .

Definició alternativa de base[modifica | modifica el codi]

Diem que β és base de la topologia T si i només si per a tot punt p contingut en un obert U hi ha un element  B\in\beta: p\in B\subset U .

Requisits perquè una família de subconjunts formi una base[modifica | modifica el codi]

Ja vam comentar que una família arbitrària de subconjunts no formarà una base. Serà interessant disposar d'un criteri per decidir si la formen o no.

Una família β no buida de subconjunts de X formarà la base d'alguna topologia si es compleix:

  1. \Cup\{B: B\in\beta\}= X .
  2. La intersecció  B\cap B ' és unió d'elements de β.

Subbase[modifica | modifica el codi]

En topologia, una subbase per a un espai topológicio X amb topologia T , és una subcoleción B de T la qual genera a T , en el sentit que T és la topologia més petita que conté B . Una definició lleument diferent és usada per alguns autors i hi ha altres formulacions equivalents, molt útils, de la definició; aquestes són discutides a continuació.

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui X un espai topològic amb topologia T . Una subbase de T és normalment definida com una subcol·lecció B de T que satisfà una de les dues següents condicions equivalents:

  1. La subbcolección B genera la topologia T . Això significa que T és la topologia més petita que conté B : qualsevol topologia U a X que conté B també ha de contenir a T .
  2. La col·lecció de conjunts oberts construïda amb X i totes les interseccions finites dels elements de B formen una base per T . Això significa que tot interval obert propi no buit en T pot ser escrit com una unió d'interseccions finites d'elements de B .

Explícitament, donat un punt x en un conjunt obert propi U (veïnatge de x) existeixen diversos conjunts finits S 1 , ..., S n d ' B , tals que la intersecció d'aquests conjut conté x i aquesta contenuda a U .

(Recordeu que si fem servir la definició d'intersecció no buida, aleshores no cal incloure X en la segona definició.)

Per alguna subcolleción S del conjunt de parts P ( X ), hi ha una única topologia que té a S com una subbase. En particular, la intesección de totes les topologies en X que conté S , satisfà aquesta condició. En general, no sempre hi ha una única subbase per a una topologia donada.

Per tant, podem començar amb la topologia fixa i trobar subbases per a aquesta topologia, i podem també començar amb una subcol·lecció arbitrària del conjunt de parts P ( X ) i formar la topologia generada per aquesta subcol·lecció. Podem lliurement utilitzar qualsevol de les definicions equivalenetes a les primeres; certament en molts casos, una de les dues condicions és més útil que l'altra.

Definició alternativa[modifica | modifica el codi]

Algunes vegades, una definició lleument diferent de subbase és donada, la qual requereix que la subbase B recobreixi a X . En aquest cas, X és un conjunt obert en la topologia generada poruqe és la unió de tots els{ B i }mentre B i variada sobre B . Això vol dir, que no poden existir confusions referents a l'ús de la intersecció no buida, en la definició.

No obstant això, amb aquesta definició, les dues definicions anteriors, no sempre són equivalents. En altres paraules, hi ha espais X amb topologia T , com que hi ha una subcol·lecció B de T , tal que T és la topologia més petita que conté B , on B no cobreix a X encara. A la pràctica, és una rara ocurrecia, una subbase d'un espai que satisfà el T 1 ha de ser una cobertura d'aquest espai.

Exemples[modifica | modifica el codi]

La topologia usual en els nombres reals R té una subbase formada per tots els intervals oberts semi-infinits bé sigui de la forma (- ∞, a ) or ( b , ∞) on a i b són nombres reals. Junts generen la topologia usual des de les interseccions  (a, b) = (-\infty, b)\cap (a,\infty) per a < b genera la topologia usual. Una segona subbase és formada, prenent la subfamília on a i b són racionals. La segona subbase genera la topologia usual també, des dels intervals oberts ( a , b ) amb a , b racionals, són una base per a la topologia ususal Euclidiana.

La subbase formada per tots els intervals oberts semi-infinits de la forma (- ∞, a ), on a és un nombre real, que no genera la topologia usual. La topologia resultant no satisfà l'axioma T 1 de separació, des de tots els conjunts oberts que té una intersecció no buida.

La topologia inicial definida per la família de funcions f i : XI i , on cada I i té una topologia, és la topologia més gruixuda en X , tal que cada f i és contínua, ja que la continuïtat pot ser definida per les imatges inverses dels conjunts oberts; això vol dir que la topologia més feble en X és donada prenent totes les f i -1 ( U i ), on U i varia en tot el conjunt abiètic d ' i i , com una subbase.

Dos casos especials molt importants de la topologia inicial són la topologia del producte, on la família de funcions és el conjunt de projeccions des del producte a cada factor, i el subespai topològic, on la família consta de només una funció, la funció d'inclusió.

La topologia compacta oberta, en l'espai de funcions contínues de X a I té per una subbase el conjunt de funcions

 V (K, U) =\{f\colon X\to Y\mid f (K)\sub U\}

on K és un espai compacte i U és obert a I .

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Dugundji, J. Topology , McGraw-Hill Companies, 1966. ISBN 0-697-06889-7. (Capítol III)
  • Stephen Willard, General Topology , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.