Binomi de Newton

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


El Binomi de Newton o teorema del binomi serveix per a calcular les potències d'un binomi mitjançant nombres combinatoris i ens indica que:

{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k},

on el coeficient binomial  {n \choose k} és definit així :  {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Exemples:

  • per n=2 : (a+b)^2= {2 \choose 0}a^2 + {2 \choose 1}ab + {2 \choose 2}b^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • per n=3 : (a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3

Demostració[modifica | modifica el codi]

Raonament combinatori[modifica | modifica el codi]

Tenint en compte que en l'expressió a=(x+y)^n a es pot escriure com el producte de n binomis, a=s_1s_2 \cdots s_n , on cada s_i=x+y. El desenvolupament de a és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui x o y – de cada s_i. Per exemple, el terme x^n en el desenvolupament de a s'obté seleccionant x en cada s_i.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de a queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes s_i tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de t=x^{n-1}y. t es pot formar a a a base d'agafar y d'un dels s_i i x de tota la resta. Hi ha n formes de seleccionar un s_i per obtenir la y; per tant t s'obté de n formes diferents en el desenvolupament de a, per tant el seu coeficient és n. En general, per t=x^{n-k}y^k, hi ha

{n \choose k}

Formes diferents de seleccionar els s_i per obtenir els ys (doncs k ys se seleccionen a partir de n s_i), i per tant aquest ha de ser el coeficient per t.

Demostració algebraica[modifica | modifica el codi]

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quant n = 0, es té

 (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val m. Llavors per n = m + 1

 (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,
 = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j

Aplicant la propietat distributiva

 = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

Traient fora del sumatori el terme k = 0

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

fent j = k − 1

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}

Traient fora del sumatori de la dreta el terme k = m + 1

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}

Combinant els sumatoris

 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k

Aplicant la regla de Pascal

 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

Afegint dins dels sumatori els termes m + 1.

 = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

Vegeu també[modifica | modifica el codi]


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Binomi de Newton