Binomi de Newton

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

El Binomi de Newton o teorema del binomi serveix per a calcular les potències d'un binomi mitjançant nombres combinatoris i ens indica que:

{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k},

on el coeficient binomial {n \choose k} és definit així : {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Exemples:

  • per n = 2 : (a+b)^2= {2 \choose 0}a^2 + {2 \choose 1}ab + {2 \choose 2}b^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • per n = 3 : (a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3

Taula de continguts

[edita] Demostració

[edita] Raonament combinatori

Tenint en compte que en l'expressió a = (x + y)n . a es pot escriure com el producte de n binomis, a=s_1s_2 \cdots s_n , on cada si = x + y . El desenvolupament de a és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui x o y – de cada si . Per exemple, el terme xn en el desenvolupament de a s'obté seleccionant x en cada si .

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de a queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes si tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de t = xn − 1y. t es pot formar a a a base d'agafar y d'un dels si i x de tota la resta. Hi ha n formes de seleccionar un si per obtenir la y; per tant t s'obté de n formes diferents en el desenvolupament de a, per tant el seu coeficient és n. En general, per t = xn − kyk, hi ha

{n \choose k}

Formes diferents de seleccionar els si per obtenir els ys (dons k ys se seleccionen a partir de n si), i per tant aquest ha de ser el coeficient per t.

[edita] Demostració algebraica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quant n = 0, es té

(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val m. Llavors per n = m + 1

(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,
= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j

Aplicant la propietat distributiva

= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

Traient fora del sumatori el terme k = 0

= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

fent j = k − 1

= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}

Traient fora del sumatori de la dreta el terme k = m + 1

= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}

Combinant els sumatoris

= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k

Aplicant la regla de Pascal

= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

Afegint dins dels sumatori els termes m + 1.

= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

[edita] Vegeu també

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/Binomi_de_Newton»