Càlcul de variacions

El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional. Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

Formulació general

Un dels problemes típics en càlcul diferencial és el de trobar el valor de $x$ per al qual la funció $f (x)$ assoleix un valor extrem (màxim o mínim ). En el càlcul de variacions el problema és trobar una funció $f (x)$ per la qual un funcional $I [f]$ abast un valor extrem. El funcional $I [f]$ està compost per una integral que depèn de $x$, de la funció $f (x)$ i algunes de les seves derivades.

$I [f] = \int_a^bf (x, p (r), c '(x ),...) \, dx$

On la funció $f (x)$ pertany a algun espai de funcions (espai de Banach, espai de Hilbert), i tant ella com les seves derivades poden tenir restriccions.

Aquesta fórmula integral pot ser més complicada permetent $x$ ser un vector, i per tant incloent derivades parcials per $f$.

Problemes històrics

Problema Isoperimètric

Quina és l'àrea màxima que pot envoltar amb una corba de longitud donada?.

Exemple: Siguin dos punts $A = (a, 0), B = (b, 0)$ en l'eix x on la distància entre ells està donada. És a dir $AB = l$. El problema de trobar una corba que maximitzi l'àrea entre ella i l'eix x seria:

Trobar una funció $f (x)$ de manera que,

$I [f] = \int_a^b f (x) dx =$ max

amb les restriccions

$G [f] = \int_a^b \sqrt{1+(f '(x))^2}dx = l$ (longitud d'arc)

$f (a) = f (b) = 0$

Braquistòcrona

El problema de la corba braquistòcrona es remunta a J. Bernoulli (1696). Es refereix a trobar una corba en el pla cartesià que vagi del punt $P = (x_0, i_0)$ l'origen de manera que un punt material que es llisca sense fricció sobre ella triga el menor temps possible a anar de $P$ l'origen. Usant principis de mecànica clàssica el problema pot formular-se com,

$T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}} {\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx =$ min

on g és la gravetat i les restriccions són, $f (0) = 0$, $f (x_0) = y_0$. Cal notar que en $x = x_0$ hi ha una singularitat.

Vegeu també

• Equacions d'Euler-Lagrange.