Càlcul de variacions

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional. Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

Formulació general[modifica | modifica el codi]

Un dels problemes típics en càlcul diferencial és el de trobar el valor de  x per al qual la funció  f (x) assoleix un valor extrem (màxim o mínim). En el càlcul de variacions el problema és trobar una funció  f (x) per la qual un funcional  I [f] abast un valor extrem. El funcional  I [f] està compost per una integral que depèn de  x , de la funció  f (x) i algunes de les seves derivades.

 I [f] = \int_a^bf (x, p (r), c '(x ),...) \, dx

On la funció  f (x) pertany a algun espai de funcions (espai de Banach, espai de Hilbert), i tant ella com les seves derivades poden tenir restriccions.

Aquesta fórmula integral pot ser més complicada permetent  x ser un vector, i per tant incloent derivades parcials per  f .

Problemes històrics[modifica | modifica el codi]

Problema Isoperimètric[modifica | modifica el codi]

Article principal: Isoperimetria

Quina és l'àrea màxima que pot envoltar amb una corba de longitud donada?.

Exemple: Siguin dos punts  A = (a, 0), B = (b, 0) en l'eix x on la distància entre ells està donada. És a dir  AB = l . El problema de trobar una corba que maximitzi l'àrea entre ella i l'eix x seria:

Trobar una funció  f (x) de manera que,

 I [f] = \int_a^b f (x) dx = max

amb les restriccions

 G [f] = \int_a^b \sqrt{1+(f '(x))^2}dx = l (longitud d'arc)

 f (a) = f (b) = 0

Braquistòcrona[modifica | modifica el codi]

El problema de la corba braquistòcrona es remunta a J. Bernoulli (1696). Es refereix a trobar una corba en el pla cartesià que vagi del punt  P = (x_0, i_0) l'origen de manera que un punt material que es llisca sense fricció sobre ella triga el menor temps possible a anar de  P l'origen. Usant principis de mecànica clàssica el problema pot formular-se com,

T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}}
{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx = min

on g és la gravetat i les restriccions són,  f (0) = 0 ,  f (x_0) = y_0 . Cal notar que en  x = x_0 hi ha una singularitat.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]