Cònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,

.

en què A, B i C no són tots tres nuls.

Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; l semilatus

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F, una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els llocs geomètrics dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L. F s'anomena focus, L la directriu, i e l'excentricitat.

L'excentricitat lineal (c ) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semilatus rectum () és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal (p) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Les relacions següents mantenen:

  • p e = \ell \,
  • a e = c. \,
Les còniques són de tres tipus: paràboles (1), el·lipses, incloent-hi cercles (2), i hipèrboles (3)

.

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a l'el·lipse, la taula dóna el cas d'un > b , per als quals l'eix major és horitzontal; per al cas invers, l'intercanvi dels símbols per i b . Per a la hipèrbola, l'oest a l'est. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica equació excentricitat (e) excentricitat lineal (c) semilatus rectum () paràmetre focal (p)
Cercle x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
El·lipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
Paràbola y^2=4ax \,  1 \,  a \,  2a \,  2a \,
Hipèrbola \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}

Visió geomètrica[modifica | modifica el codi]

Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi d'origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica[modifica | modifica el codi]

L'anterior equació (Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\, la podem escriure de la forma matricial X^\prime MX=0\,

En què: X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,

M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,

Segons la forma canònica que adopti la matriu M\,, trobem les diferents solucions que tenen les còniques (a,b,m\, són valors reals, diferents de 0\,):

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\, el·lipse imaginària
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\, el·lipse real
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\, dues rectes imaginàries no paral·leles
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\, hipèrbola
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\, dues rectes reals no paral·leles
y=mx^{2}\, paràbola
a^{2}x^{2}=-1\, dues rectes imaginàries paral·leles
a^{2}x^{2}=1\, dues rectes reals paral·leles
mx^{2}=0\, dues rectes coincidents
x=0\, una recta real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cònica Modifica l'enllaç a Wikidata