Cònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,

.

on A, B i C no són tots tres nuls.

Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; l semi-latus.

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F , una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els lloc geomètric dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L . F s'anomena focus, L la directriu, i e l'excentricitat.

L'excentricitat lineal (c ) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semi-latus rectum () és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal ( p) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Les següents relacions mantenen:

  • p e = \ell \,
  • a e = c. \,
Les còniques són de tres tipus: Paràboles (1), el·lipses, incloent cercles (2), i hipèrboles (3)

.

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a l'el·lipse, la taula dóna el cas d'un > b , per als quals l'eix major és horitzontal, per al cas invers, l'intercanvi dels símbols per i b Per a la hipèrbola l'oest a l'est. cas l'obertura es dóna. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica equació excentricitat (e) excentricitat lineal (c ) semi-latus rectum ( ) paràmetre focal ( p )
Cercle x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
El·lipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
Paràbola y^2=4ax \,  1 \,  a \,  2a \,  2a \,
Hipèrbola \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}

Visió geomètrica[modifica | modifica el codi]

Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica[modifica | modifica el codi]

L'anterior equació (Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\, la podem escriure de la forma matricial X^\prime MX=0\,

On: X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,

M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,

Segons la forma canònica que adopti la matriu M\,, trobem les diferents solucions que tenen les còniques (a,b,m\, són valors reals, diferents de 0\,):

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\, el·lipse imaginària.
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\, el·lipse real.
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\, dues rectes imaginàries no paral·leles.
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\, hipèrbola.
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\, dues rectes reals no paral·leles.
y=mx^{2}\, paràbola.
a^{2}x^{2}=-1\, dues rectes imaginàries paral·leles.
a^{2}x^{2}=1\, dues rectes reals paral·leles.
mx^{2}=0\, dues rectes coincidents.
x=0\, una recta real.

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cònica Modifica l'enllaç a Wikidata