Cònica

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

$(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,$

.

on A, B i C no són tots tres nuls.

Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; l semi-latus.

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F , una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els lloc geomètric dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L . F s'anomena focus, L la directriu, i e l' excentricitat .

L'excentricitat lineal (c ) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2ℓ) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semi-latus rectum (ℓ) és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal ( p ) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Les següents relacions mantenen:

• $p e = \ell \,$
• $a e = c. \,$

Les còniques són de tres tipus: Paràboles (1), el·lipses, incloent cercles (2), i hipèrboles (3)

.

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a la el·lipse, la taula dóna el cas d'un > b , per als quals l'eix major és horitzontal, per al cas invers, l'intercanvi dels símbols per i b Per a la hipèrbola l'oest a l'est. cas l'obertura es dóna. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica	equació	excentricitat (e)	excentricitat lineal (c )	semi-latus rectum ( ℓ )	paràmetre focal ( p )
Cercle	$x^2+y^2=a^2 \,$	$0 \,$	$0 \,$	$a \,$	$\infty$
El·lipse	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$	$\sqrt{a^2-b^2}$	$\frac{b^2}{a}$	$\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$
Paràbola	$y^2=4ax \,$	$1 \,$	$a \,$	$2a \,$	$2a \,$
Hipèrbola	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$	$\sqrt{a^2+b^2}$	$\frac{b^2}{a}$	$\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Visió geomètrica

Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

• Si el pla no passa pel vèrtex del con, segons l'angle d'intersecció ens trobarem:
  • El·lipse: una corba tancada. Un cas particular d'el·lipse és una circumferència si el pla de l'el·lipse és perpendicular a l'eix del con, és a dir, paral·lel a la base.
  • Paràbola: una corba oberta.
  • Hipèrbola: dues corbes obertes.
• Si el pla passa pel vèrtex del con:
  • Un punt
  • Una recta
  • Dues rectes.

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica

L'anterior equació $(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,$ la podem escriure de la forma matricial $X^\prime MX=0\,$

On: $X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,$

$M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,$

Segons la forma canònica que adopti la matriu $M\,$, trobem les diferents solucions que tenen les còniques ($a,b,m\,$ són valors reals, diferents de $0\,$):

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,$	el·lipse imaginària.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,$	el·lipse real.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,$	dues rectes imaginàries no paral·leles.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,$	hipèrbola.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,$	dues rectes reals no paral·leles.
$y=mx^{2}\,$	paràbola.
$a^{2}x^{2}=-1\,$	dues rectes imaginàries paral·leles.
$a^{2}x^{2}=1\,$	dues rectes reals paral·leles.
$mx^{2}=0\,$	dues rectes coincidents.
$x=0\,$	una recta real.

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Vegeu també

• Teorema de Desargues per feixos de còniques.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cònica