Camp central

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
El Sol produeix un camp de força gravitacional, que és l' àrea central: els vectors de força es dirigeixen cap al Sol.

Un camp central és un camp de forces conservatiu tal que l'energia potencial d'una partícula només depengui de la distància (escalar) a un punt fix anomenat centre o font del camp.

El camp gravitatori del Sol, tal com és tractat matemàticament a la mecànica newtoniana és un exemple de camp central (però, en teoria de la relativitat aquest camp gravitatori té un tractament matemàtic més complex).

Caracterització matemàtica[modifica]

Com que els camps centrals per definició són conservatius poden obtenir com el gradient d'un potencial on és la distància a la font del camp. Per tant en cada punt de l'espai el camp central ve donat per:

(1)

Una propietat molt important del moviment en un camp central és que el moment angular (respecte al centre del camp) es conserva, és a dir, aquesta magnitud és una constant del moviment:

(2)

On els dos termes a què dona lloc la derivada del producte s'acaben anul·lant ja que en els dos casos resulten vectors paral·lels i el producte vectorial de dos vectors paral·lels s'anul·la. A més ja que el moment angular i el vector de posició són permanentment perpendiculars i en ser el primer vector constant, se segueix el que moviment en un camp central està sempre confinat al pla perpendicular al moment angular i per tant la trajectòria de la partícula serà una corba plana.

Moviment en un camp central[modifica]

El moviment d'una partícula en un camp central té almenys dues constants de moviment: l'energia mecànica total (per ser el camp conservatiu) i el moment angular. Com el moviment té dues dimensions, ja que es dona sobre un pla, les equacions del moviment i de la trajectòria són totalment integrables pel mètode de quadratures.

Per veure això escriguem primer el lagrangià, que expressat en coordenades polars sobre el pla del moviment resulta ser tan senzill com:

(3)

De manera que les equacions de moviment, obtingudes substituint el lagrangià anterior a les equacions d'Euler-Lagrange són simplement:

De la primera d'elles s'obté que la quantitat entre parèntesis, que coincideix amb el mòdul del moment angular Lz roman constant, d'acord amb el que sabíem. Substituint aquest resultat a l'equació de l'energia total tenim:

(4)

I aquesta última equació pot integrar-se sense dificultat, s'obté la següent quadratura:

(5)

Aquesta equació dona implícitament la relació de la distància entre el centre del camp i la partícula que es mou al llarg del temps. Per trobar la trajectòria només s'ha d'emprar:

(6)

Descripció del moviment[modifica]

L'equació (4) implica que el moviment d'una partícula en un camp central respecte a la coordenada radial r s'assembla a un moviment unidimensional en què l'energia potencial ha estat corregida per un terme depenent de Lz (usualment anomenat barrera centrífuga). Això implica que el moviment de la coordenada r està acotat entre un valor màxim i un mínim , és a dir la coordenada r té una variació periòdica.

No obstant això, en general el moviment en un camp central no és periòdic, sinó quasiperiòdic, ja que és la composició de dos moviments periòdics, en i en , de períodes que en general no coincidiran. Quan la coordenada radial experimenta un cicle complet, la coordenada polar haurà tingut una variació donada per:[1]

(7)

La condició que la trajectòria sigui perfectament tancada, i per tant periòdica, equival al fet que en la igualtat anterior , cosa que en general no es complirà. Si c és efectivament racional l'"òrbita" o trajectòria serà periòdica, si en canvi c no és racional el moviment només serà quasi periòdic i l'òrbita serà un conjunt dens que "omple" l'anell comprès entre, r = rmin i r = rmàx.

Referències[modifica]

  1. Landau y Lifshitz, 1991, p. 38

Bibliografia[modifica]

  • Landau, L.D.; Lifshitz E.M.. «III». A: Reverté. Mecánica. 2a edició, 1991, p. 35-41. ISBN 84-291-4081-6. 

Vegeu també[modifica]