Catifa de Sierpinski

La catifa de Sierpinski és un conjunt fractal descrit per primer cop per Wacław Sierpiński el 1916. Constitueix una generalització a dues dimensions del conjunt de Cantor. Comparteix amb ell moltes propietats: també és un conjunt compacte, no numerable i de mesura nul·la. La seva Dimensió de Hausdorff-Besicovich és $\log(8)/\log(3)\approx 1,892789...$

No s'ha de confondre amb altres generalitzacions com la pols de Cantor.

És universal per a tot objecte compacte del pla. Així, qualsevol corba dibuixada en el pla amb les autointerseccions que vulguem, per complicada que sigui, serà homeomorfa a un subconjunt de la catifa de Sierpinski.

Construcció

La construcció de la catifa de Sierpinski es defineix de forma recursiva:

1. Comencem amb un quadrat.
2. El quadrat es talla en 9 quadrats congruents, i eliminem el quadrat central.
3. El pas anterior torna a aplicar-se recursivament a cada un dels 8 quadrats restants.

La catifa de Sierpinski és el límit d'aquest procés després d'un nombre infinit d'iteracions.

Construcció de la catifa de Sierpinski:
Pas 1	Pas 2	Pas 3	Pas 4	Pas 5

La següent implementació és vàlida en C, C++ i Java:

/**
* Decides if a point at a specific location is filled or not.
* @param x is the x coordinate of the point being checked
* @param y is the y coordinate of the point being checked
* @param width is the width of the Sierpinski Carpet being checked
* @param height is the height of the Sierpinski Carpet being checked
* @return 1 if it is to be filled or 0 if it is not
*/
int isSierpinskiCarpetPixelFilled(int x, int y, int width, int height)
{
        // base case 1 of 2
        if ((x <= 0)||(y <= 0)||(x>=width)||(y>=height)) //top row or left column or out of bounds should be full
        {
                return 1;
        }
        {
                /*
                If the grid was split in 9 parts, what part(x2,y2) would x,y fit into?
                */
                int x2 = x * 3 / width; // an integer from 0..2 inclusive
                int y2 = y * 3 / height; // an integer from 0..2 inclusive
 
                // base case 2 of 2
                if (x2 == 1 && y2 == 1) // if in the center square, it should be empty
                        return 0;
 
                // general case
 
                /* offset x and y so it becomes bounded by 0..width/3 and 0..height/3
                and prepares for recursive call
                some offset is added to make sure the parts have all the correct size when
                width and height isn't divisible by 3
                */
                x -= (x2 * width+2) / 3; 
                y -= (y2 * height+2) / 3;
                width = (width +2-x2)/3;
                height = (height+2-y2)/3;
        }
 
        return isSierpinskiCarpetPixelFilled(x, y, width, height);
}

Vegeu també

• Conjunt de Cantor
• Esponja de Menger
• Floc de neu de Koch

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Catifa de Sierpinski

• Newton en colors: representació de fractals PDF
• Una de fractals