Cicloide

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Generació d'una cicloide.

Una cicloide és la corba definida per un punt d'una circumferència que gira sense lliscar sobre una línia recta (vegeu la il·lustració de la dreta).

La cicloide fou estudiada per Nicolau de Cusa i després per Marin Mersenne. El 1634 Gilles de Roberval demostrà que l'àrea sota la cicloide és igual a tres vegades l'àrea del cercle generador i el 1658 Christopher Wren demostrà que la seva longitud és igual a 4 vegades el diàmetre del cercle. La cicloide de cap per avall és precisament la braquistòcrona, la corba de descens més ràpid sota l'efecte de la gravetat, i la tautòcrona. A causa de les freqüents disputes entre els matemàtics del segle XVII, la cicloide es va anomenar "l'Hèlena dels geòmetres".

Les seves equacions paramètriques són:

\left\{\begin{matrix} x(t)=r(t - \sin\ t) \\ y(t)=r(1 - \cos\ t)\end{matrix}\right.

on r és el radi del cercle generador. Considerada com a funció y(x) es pot veure que és diferenciable a tot arreu excepte en els vèrtexs on toca l'eix x i satisfà la següent equació diferencial:

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cicloide Modifica l'enllaç a Wikidata