Circumferència d'Apol·loni

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Circumferència d'Apol·loni

La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts P del cercle, la raó \frac{AP}{BP} = k és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts A i B i la raó k.


El lloc geomètric és una circumferència

Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin A i B els dos punts, U i V dos punts sobre la recta AB que fan \frac{AU}{BU} = \frac{AV}{BV} = k i P un punt fora de la recta AB que també fa \frac{AP}{BP} = k. Ara considerem els segments UP i VP i els segments AM i AN que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,

\frac{AU}{BU} = \frac{MP}{BP} \,, \qquad \frac{AV}{BV} = \frac{NP}{BP}

cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica

k = \frac{AU}{BU} = \frac{AV}{BV} = \frac{MP}{BP} = \frac{NP}{BP} = \frac{AP}{BP}

i, per tant, MP = NP = AP i els triangles APN i APM són isòsceles. En conseqüència,

\widehat{ANP} = \widehat{NAP} \,, \qquad \widehat{AMP} = \widehat{MAP}

però

\widehat{ANP} = \widehat{VPB} \,, \qquad \widehat{NAP} = \widehat{APV}

i

\widehat{AMP} = \widehat{UPN} \,, \qquad \widehat{MAP} = \widehat{UPA}

tot obtenint que

\widehat{VPB} = \widehat{APV} i \widehat{UPN} = \widehat{UPA}

En conseqüència, els segments UP i VP són perpendiculars i per tant, el punt P és sobre el cercle de diàmetre UV, que és el cercle d'Apol·loni del cas.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Circumferència d'Apol·loni Modifica l'enllaç a Wikidata