Clausura de Kleene

En lògica matemàtica i en informàtica, la clausura de Kleene (també anomenada estel Kleene) és una operació unària que s'aplica sobre un conjunt de cadenes de caràcters o un conjunt de símbols o caràcters (alfabet), i representa el conjunt de les cadenes que es poden formar prenent qualsevol nombre de cadenes del conjunt inicial, possiblement amb repeticions, i concatenant-les entre si.

L'aplicació de la clausura de Kleene a un conjunt V es denota com a V*. És molt usada en expressions regulars i va ser introduïda en aquest context per Stephen Kleene (1909-1994) per caracteritzar un cert autòmat.

Definició i notació

Donat

$V_0=\{\lambda\}\,$

es defineix recursivamente

$V_{i+1}=\{wv : w\in V_i \mbox{ and } v \in V\}\,$ on $i \ge 0\,.$

Si $V$ és un llenguatge formal, aleshores la $i$-ésima potència de $V$ és l'abreviatura de la concatenació de $V$ amb si mateix $i$ vegades. Això és, $V_i$ pot entendre's com el conjunt de tots els strings de longitud $i$, format a partir dels símbols en $V$.

La definició de clausura Kleene en $V$ és $V^*=\bigcup_{i \in \N} V_i = \left \{\lambda \right\} \cup V_1 \cup V_2 \cup V_3 \cup \ldots.$

És a dir, és la recopilació de totes els possibles strings de longitud finita generats a partir dels símbols en $V$.

En alguns estudis de llenguatge formal, usen Kleene plus que és una variació de l'operació clausura de Kleene. Kleene plus omet el terme $V_0$ en la unió. En altres paraules, Kleene plus en $V$ és $V^+=\bigcup_{i \in \N^{\star}} V_i = V_1 \cup V_2 \cup V_3 \cup \ldots.$

Exemples

Exemple de clausura de Kleene aplicada a un caracter:

{"a"}* = {ε, "a", "aa", "aaa", "aaaa", "aaaaa", "aaaaaa",...}

Exemple de clausura de Kleene aplicada a un conjunt de cadenes:

{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc",...}

Exemple de clausura de Kleene aplicada a un conjunt de caràcters:

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc",...}