Codomini

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Imatge d'una funció(f) des de X(esquerra) cap a Y(dreta). L'àrea més petita de dins de Y és el recorregut de f. Y és el codomini de f.

En matemàtiques, el codomini d'una funció f : XY és el conjunt Y.

El domini de f és el conjunt X.

El recorregut de f és el conjunt f(X) definit com a { f(x) : xX }. D'aquestes definicions se'n desprèn que el recorregut de f és sempre un subconjunt del codomini de f.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Com a exemple, sia la funció f una funció definida al conjunt dels nombres reals:

f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

Definida per

f\colon\,x\mapsto x^2.

El codomini de f és \mathbb{R}, però clarament f no té com a imatge cap nombre negatiu. Per tant el recorregut de f és el conjunt

\mathbb{R}^+_0,és a dir, l'interval interval [0,∞) on:

0\leq f(x)<\infty.

Es pot definir una altra funció g així:

g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0
g\colon\,x\mapsto x^2.

Mentre que f i g produeixen el mateix nombre com a imatge de qualsevol valor x, no són, des del punt de vista modern, la mateixa funció perquè tenen diferents codomins. Per a veure perquè, suposeu que es defineix una tercera funció h:

h\colon\,x\mapsto \sqrt x.

Cal definir el domini de h com a \mathbb{R}^+_0:

h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}.

Ara, definint la composició

h \circ f,
h \circ g.

Com es pot veure, h \circ f no té sentit. Suposeu (tal com cal, tret que explícitament s'estableixi altra cosa) que no se sap quin és el recorregut de f; només se sap que pot ser \mathbb{R}. Però això és un problema a causa del fet que l'arrel quadrada dels nombre negatius no està definida en el conjunt dels reals. Ara es té un problema a causa del fet que la funció h, quant es compon amb la funció f, podria rebre un argument que "no pot manejar".

Aquesta manca de claredat ha de ser evitada en treballs formals. La composició de funcions, per això, requereix que el codomini de la funció de la banda dreta de la composició (no el seu recorregut, que és una conseqüència de la funció i es diu que és indeterminat a nivell de la composició) ha de ser el mateix que el domini de la funció del cantó esquerra.