Nombre complex

De Viquipèdia

(S'ha redirigit des de: Complex)
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Sistema de nombres en matemàtiques
Conjunts de nombres
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Nombres destacables
  • π ≈ 3,14159265...
  • e ≈ 2,7182818284...
  • Φ ≈ 1,6180339887...
  • i := \sqrt{-1}
Nombres amb propietats destacables

Primers \mathbb{P}, abundants, amics, compostos, defectius, perfectes, sociables, algebraics, transcendents
Extensions dels
nombres complexos
Nombres Especials
Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans
Sistemes de numeració

Àrab, armeni, àtica (grega), babilònica, ciríl·lica, egípcia, etrusca, grega, hebrea, índia, jònica (grega), japonesa, khmer, maia, romana, tailandesa, xinesa.

El conjunt dels nombres complexos és l'extensió dels reals \mathbb{R}[i], on i, que s'anomena la unitat imaginària, compleix que i2 = − 1. Els conjunt dels nombres complexos es representa per la lletra \mathbb{C}.

Intuïtivament, es tracta del conjunt de nombres que resulta de la suma disjunta del conjunt dels nombres reals i el dels nombres imaginaris purs.

Taula de continguts

[edita] Notació

Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginària (representació cartesiana), o com a mòdul amb angle (representació polar).

[edita] Notació cartesiana

En la seva representació cartesiana, un complex pren aquesta forma: a + bi, on a és la component real, i b és la component imaginària. Per exemple: 4; 3 + 5i; 57 − 3i o 10i són nombres complexos.

Es pot veure gràficament en uns eixos cartesians, on l'eix d'abcisses representa la component real, i l'eix d'ordenades la component imaginària.

[edita] Notació polar

En la representació polar, un complex pren la forma: \mathbf{r_\phi}, on \mathbf{r} és el mòdul del nombre complex, i \mathbf{\phi} és l'angle del complex (però, la notació habitual és {\mathbf r}\, \mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}}, on \mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}} = \cos \phi + i \sin \phi).

[edita] Equivalències entre notació cartesiana i notació polar

Nombre complex

Per passar d'un tipus de notació a una altra s'utilitzen les següents expressions:

  • Pas de cartesiana a polar (part real no negativa):

A partir del Teorema de Pitàgoras ( i entenent el nombre complex com un vector amb dues coordenades, (a, b) ), podem dir:

\mathbf{r}=\sqrt{a^2+b^2}

I sabent que el quocient entre el catet oposat i el catet contigu d'un angle {\mathbf{\phi}} és la tangent d'aquest angle, tenim:

\tan{\mathbf{\phi}}=\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}

L'arctangent retorna angles entre —180º i 180º, per tant per a complexos amb part real positiva l'angle es calcula com:

\mathbf{\phi}=\arctan{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}

Si el complex té part real negativa es transforma en un complex de part real positiva prenent —1 (-1=1_{180^o}) com a factor comú. \mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot i=-1\cdot(-\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot i). L'angle s'obté com:

\mathbf{\phi}=180^o+\arctan{\frac{-\mathbf{b}}{-\mathbf{a}}}=180^o+\arctan{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}
  • Pas de polar a cartesiana
\mathbf{a}=\mathbf{r}\cdot\cos\mathbf{\phi}
\mathbf{b}=\mathbf{r}\cdot\sin\mathbf{\phi}

[edita] Visió geomètrica

Els nombres complexos, per a visualitzar-los geomètricament es poden identificar amb \mathbb{R}^2. Tenim una bijecció \mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C} que identifica el nombre a+b\cdot i \in \mathbb{C} amb el vector (a,b) \in \mathbb{R}^2. D'aquesta manera podem visualitzar el conjunt dels nombres complexos com un pla.

[edita] Operacions amb nombres complexos

Les operacions amb nombres complexos demanaran una notació cartesiana o polar, depenent de la operació que es faci. Per això, es important saber passar d'un tipus de notació a una altra per poder operar amb nombres complexos.

[edita] Suma i resta

Per sumar dos nombres complexos s'ha d'utilitzar la notació cartesiana.

  • Notació cartesiana:

Es sumen les components reals dels sumands i les components imaginàries per separat:

a+bi + a'+bi = (a+a') + (b+b')i\,

Exemple:

2+3i + (3-5i) = 5-2i\,

Per restar es fa de manera semblant:

a+bi - (a'+b'i) = a+bi + (-a')+(-b')i = (a-a') + (b-b')i\,

Exemple:

2-4i - (3-5i) = (2-3) + (-4+5)i = -1+1i\,

[edita] Multiplicació

Per multiplicar dos nombres complexos es pot utilitzar qualsevol de les dues notacions:

  • Notació cartesiana:


(a+bi) \cdot (a'+b'i) = a \cdot a' + a \cdot b'i + bi \cdot a' + bi \cdot b'i\,

Com que i \cdot i=-1 i agrupant els sumands resulta que:

(a+bi) \cdot (a'+b'i) = (a \cdot a'-b.b')+(a \cdot b'+b \cdot a')i\,

Exemple:

(2-4i) \cdot (3+5i)= (2 \cdot 3-(-4) \cdot 5)+(2 .5+(-4) \cdot 3)=26-2i\,
  • Notació polar
r _\phi\cdot r' _{\phi'}=r \cdot r'_{\phi + \phi'} \,

Exemple:

10_{30}\cdot 5 _{10}=10\cdot 5_{30 + 10}=50_{40} \,

[edita] Demostració

Passant de notació cartesiana a polar s'obté:

r_{\phi }\cdot {r}'_{{{\phi }'}}=\left[ r\cos \left( \phi \right)+ir\sin \left( \phi \right) \right]\cdot \left[ {r}'\cos \left( {{\phi }'} \right)+i{r}'\sin \left( {{\phi }'} \right) \right]

Operant resulta:

r_{\phi }\cdot {r}'_{{{\phi }'}}=r{r}'\left[ \cos \left( \phi \right)\cos \left( {{\phi }'} \right)-\sin \left( \phi \right)\sin \left( {{\phi }'} \right) \right]+r{r}'i\left[ \cos \left( \phi \right)\sin \left( {{\phi }'} \right)+\sin \left( \phi \right)\cos \left( {{\phi }'} \right) \right]

Que, tenint en compte les identitats trigonomètriques del sinus i el cosinus de la suma d'angles i tornant a passar a notació polar s'obté:

\begin{align} r_{\phi }\cdot {r}'_{{{\phi }'}}&=r{r}'\cos \left( \phi +{\phi }' \right)+r{r}'i\sin \left( \phi +{\phi }' \right) \\ & =\left( r\cdot {r}' \right)_{\phi +{\phi }'} \end{align}

[edita] Divisió

Per dividir dos nombres complexos s'utilitza normalment la notació polar, per ser la forma més fàcil. Tot i així també es pot operar amb la notació cartesiana.

  • Notació polar

Com que per multiplicar es multipliquen els mòduls i se sumen els angles, per trobar un nombre que multiplicat pel divisor doni el dividend (és a dir per a dividir el dividend entre el divisor i trobar el quocient) caldrà trobar un nombre que multiplicat pel mòdul del divisor doni el mòdul del dividend (és a dir caldrà dividir el mòdul del dividend entre el mòdul del divisor) i caldrà trobar un argument que sumat a l'argument del divisor doni l'argument del dividend (és a dir caldrà restar de l'argument del dividend l'argument del divisor).

\frac{r_{\phi }}{r_{{{\phi }'}}}=\left( \frac{r}{{{r}'}} \right)_{\phi -{\phi }'}

Exemple:

\frac{10_{30}}{5 _{10}}=\left( \frac{10}{5}\right)_{30 - 10}=2_{20}
  • Notació cartesiana

En notació cartesiana, multiplicant el numerador i el denominador pel conjugat del denominador queda en el denominador un nombre real que es pot dividir per separat de la part real i de la part imaginaria.

\frac{a+b\mathbf{i}}{a'+b'\mathbf{i}}=\frac{(a+b\mathbf{i})\cdot(a'-b'\mathbf{i})}{(a'+b'\mathbf{i})\cdot (a'-b'\mathbf{i})}=\frac{a\cdot a'- a\cdot b'\mathbf{i}+b\mathbf{i}\cdot a'- b\mathbf{i} \cdot b'\mathbf{i}}{a'^2-(b'\mathbf{i})^2}=
=\frac{(a\cdot a'+ b\cdot b') + (b \cdot a' - a \cdot b')\mathbf{i}}{a'^2+b'^2}

[edita] Potència

El quadrat d'un nombre complex és tal com segueix:

  • En notació cartesiana, cal emprar el Binomi de Newton; en concret, el quadrat (en potència de 2) és:
(a + b\mathbf{i})^2=(a + b\mathbf{i})\cdot (a + b\mathbf{i})= (a \cdot a - b \cdot b)+ (a \cdot b + b \cdot a)\mathbf{i}=(a^2-b^2)+ (2ab)\mathbf{i}

Aquest procediment és feixuc i llarg (especialment en potències de graus superiors a 2 o 3). En canvi, en notació polar és força més senzill:

  • En notació polar i generalitzant (on n=exponent):
(r _\phi)^n=r^n _{\phi\cdot n}


[edita] Arrels

En construcció...

[edita] Curiositats

[edita] Els nombres complexos i els políedres regulars

Donada la potència d'exponent 1/n (arrel n, on n∈ℝ), les seves n solucions donaran lloc a n vectors del pla, que seran, alhora, vectors posició dels vèrtexs d'un polígon regular de n vèrtexs (i n costats).

[edita] Vegeu també

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_complex»