Complex de cadenes

A àlgebra abstracta un conjunt $\{A_i, \, \delta_i \}$ consistent en estructures algebraiques A_i (ja siguin grups abelians, anells, mòduls, ...) i $\delta_i$ morfismes (segons sigui la categoria), es diu complex de cadenes o complex homològic si la construcció

$\ldots \longrightarrow A_{n+1} \xrightarrow{\delta_{n+1}} A_n \xrightarrow{\,\delta_n\,} A_{n-1} \longrightarrow \ldots$

satisfà $\delta_{n+1}\circ \delta_n = 0$ per a tot n. Aquesta condició implica $\operatorname{im} \delta_{n+1}\subseteq \ker \delta_n \,$. Aquest concepte és clau per entendre el que és l'homologia.

Notació

El símbol $A_{\bullet}$ s'utilitza per a designar al parell $\{A_i, \, \delta_i \}$.

Homologia

Les estructures quocient

$H_n (A_{\bullet}) = \ker \delta_n / \operatorname{im}\delta_{n+1}\,$

s'anomenen espais d'homologia del complex de cadenes $A_{\bullet}$.

Aquesta última construcció és l'origen de l'àlgebra homològica i té nombroses aplicacions en altres disciplines de la matemàtica com ara a la topologia algebraica, que la compta com una de les seves principals eines.

Morfisme entre complexos

El morfisme de complexos $\{f_i \} = f_{\bullet}\colon A_\bullet \to B_\bullet$. La condició de morfisme de complexos demana que el diagrama sigui commutatiu.

Un morfisme (de grau zero) entre dos complexos $A_{\bullet}= \{A_q, \, \delta_q \}$ i $B_{\bullet}= \{B_q, \, \gamma_q \}$ és un conjunt $f_{\bullet}= \{f_q \}$ de morfismes entre les estructures algebraiques $A_q \xrightarrow{f_q} B_q$ tals que $f_q \circ \delta_{q+1}= \gamma_{q+1}\circ f_{q+1}$. Simbòlicament $f_{\bullet}\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ indica el mateix.

Un morfisme de grau d correspon a una família de morfismes $A_q \xrightarrow{g_q} B_{q-d}$ amb la mateixa propietat $g_q \circ \delta_{q+1}= \gamma_{q+1}\circ g_{q+1}$

Com a categoria

Des del punt de vista de teoria de categories tenim ben definida la categoria de complexos de cadenes amb els morfismes de complexos.

Una aplicació d'aquesta categoria és que les principals teories de la topologia algebraica com ara la homologia singular són veritables functors, perquè assignen a un parell topològic (X, A) una família de grups abelians $\{H_n (X, A) \}_n$ que formaran un complex de cadenes

$\cdots \to H_i (A) \to H_i (X) \to H_i (X, A) \to H_{i-1}(A) \to \cdots$

i on una aplicació contínua $f \colon (X, A) \to (I, B)$ entre parells topològics indueix un conjunt de morfismes

$f_{\#}\colon H_i (A) \to H_i (B),\quad f_{\#}\colon H_i (X) \to H_i (I),\quad f_{\#}\colon H_i (X, A) \to H_i (I, B)$

amb les propietats suficients per tal de considerar-los un morfisme de complexos.

Bibliografia

• Dieudonné, Jean. A History of algebraic and Differential Topology 1900-1960 (en anglès). Birkhäuser, 1989. ISBN 0-8176-3388-X, ISBN 3-7643-3388-X. 

Vegeu també

• Functors
• Cohomologia