Congruència

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article tracta sobre qualsevol relació general de congruència. Vegeu-ne altres significats a «congruència sobre els enters».

En matemàtiques i en particular en àlgebra abstracta, una relació de congruència o simplement una congruència és una relació d'equivalència que és compatible amb algunes operacions algebraiques.

Aritmètica modular[modifica | modifica el codi]

L'exemple típic de congruència és la congruència sobre els enters que es fa servir en aritmètica modular

En aquest context Congruència és el terme que es fa servir per a designar que dos nombres enters a i b tenen el mateix residu al dividir-los per un nombre natural m, anomenat el mòdul; aquest s'expressa utilitzant la notació: a \equiv b \pmod m que s'expressa dient que a és congruent amb b mòdul m. Una altra definició equivalent és que el mòdul m divideix exactament a la diferència a-b.

Per exemple, 12\equiv 17 \pmod 5 perquè obtenim el mateix residu (2) si dividim 12 entre 5 i 17 entre 5.

El terme congruència s'utilitza a més amb dos sentits lleugerament diferents: per una banda amb el sentit d'identitat matemàtica; com a exemple d'aquest ús tenim el petit teorema de Fermat que assegura que per a cada primer p i cada enter a no divisible per p tenim la congruència:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

Per altra banda s'utilitza en el sentit d'equació, on apareixen una o més incògnites, i ens preguntem si una congruència té solució i en cas afirmatiu, quines són totes les seves solucions, per exemple la congruència x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}, té solució, i totes les seves solucions vénen donades per x \equiv 4 i x\equiv 7 \pmod {11}, és a dir x pot ser qualsevol enter de les successions 11k+4 i 11k+7. Contràriament, la congruència x^2-2 \equiv 0\pmod{11}, no té solució.

La notació i la terminologia van ser introduïdes per Carl Friedrich Gauss en el seu llibre Disquisitiones Arithmeticae el 1801. La seva utilització s'ha estès a molts altres entorns en els que podem parlar de divisibilitat, per exemple a polinomis amb coeficients en un cos, a ideals d'anells de nombres algebraics, etc.

Relació d'equivalència[modifica | modifica el codi]

1) reflexiva:  a \equiv a \pmod m.
2) simètrica: si  a \equiv b \pmod m llavors també  b \equiv a \pmod m.
3) transitiva: si  a \equiv b \pmod m i  b \equiv c \pmod m llavors també  a \equiv c \pmod m.

Compatibilitat amb les operacions d'addició i multiplicació dels enters[modifica | modifica el codi]

  • Si a \equiv b \pmod m i k és un enter llavors també es compleix
a+k \equiv b+k \pmod m i :ka \equiv kb \pmod m
  • Si a més k és coprimer amb m, llavors podem trobar un enter k^{-1}, tal que
kk^{-1} \equiv 1 \pmod m

i llavors té perfecte sentit parlar de la divisió i també és cert que

\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m

on per definició posem  a/k = ak^{-1}.

  • Com a conseqüència de l'anterior, si tenim dos congruències amb igual mòdul:
 a\equiv b \pmod m i  c \equiv d \pmod m

podem sumar-les, restar-les o multiplicar-les de manera que també es verifiquen les congruències

 a+c \equiv b + d \pmod m i  ac \equiv bd \pmod m

Aquestes propietats permeten definir l'aritmètica modular.

Àlgebra lineal[modifica | modifica el codi]

Dues matrius reals A i B es diu que són congruents si existeix una matriu invertible real P tal que

 P^\top A P = B.

Al definir la relació de congruència d'aquesta manera resulta que dues matrius són congruents si i només si representen la mateixa forma bilineal respecte de diferents bases. Aquesta relació és una relació d'equivalència.

Àlgebra universal[modifica | modifica el codi]

En àlgebra universal la idea es generalitza: Una relació de congruència sobre una àlgebra A és un subconjunt del producte directe A × A que és al mateix temps una relació d'equivalència en A i una subàlgebra de A × A.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]