Conjectura de Pólya

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la conjectura de Pólya és una hipòtesi que planteja que la majoria dels nombres naturals (més del 50% d'ells) menors que qualsevol nombre donat, tenen una quantitat senar de factors primers. La conjectura va ser proposada pel matemàtic hongarès George Pólya el 1919, i es va demostrar la seva falsedat el 1958. La mida del menor contraexemple és usualment usada per mostrar com una conjectura pot ser certa per molts nombres, i tot i així ser falsa.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

La conjectura de Pólya enuncia que:

per a qualsevol n (> 1), si dividim els nombres naturals menors o iguals an (excloent el 0) per aquells que tenen un nombre imparell de factors primers, i si anàlogament els dividim per aquells que tenen un nombre parell de factors primers, llavors el primer conjunt té més element que l'últim, o bé, tenen igual quantitat d'elements.

De manera equivalent, es pot enunciar la conjectura, en termes de la funció de Liouville:

 L (n) = \sum_{k = 1}^n \lambda (k) \leq 0

Per a tot n . Aquí,  \lambda (k) = (-1)^{\Omega (k)} és positiu si el nombre de factors primers del sencer k és parell, i negatiu si és imparell. La funció Omega compta el total de factors primers d'un enter.

Refutació[modifica | modifica el codi]

La conjectura va ser demostrada falsa per C. B. Haselgrove el 1958. Va demostrar que la conjectura té un contraexemple, el que va estimar al voltant de 1.845 × 10361.

Un contraexemple explícit, amb n = 906.180.359 va ser donat per R. S. Lehman el 1960, el contraexemple més petit és n = 906.150.257, trobat per Minoru Tanaka el 1980.

La conjectura de Pólya falla per a la majoria dels valors de  n a la regió de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. en aquesta regió, la funció assoleix un valor màxim de 829 en n = 906.316.571.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • G. Pólya, "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  • Haselgrove, C.B.. A disproof of a conjecture of Pólya. 5, 1958, p. 141-145. 
  • R.S. Lehman, On Liouville 's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tòquio Journal of Mathematics 3 , (1980) 187-189.