Conjugat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex z és el nombre complex format de la mateixa part real que z i de la part imaginària oposada.

Definició[modifica | modifica el codi]

El conjugat d'un nombre complex z = a + bi\,, on a i b són reals, és \bar z = a - bi.

En el pla complex, el punt d'afix \bar z és el simètric del punt d'afix z\, respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Sia (z,w)\in \mathbb{C} ^2.

  • \left|\bar z\right| = \left|z\right|
  • z+\overline{z} = 2\,\Re(z) (on \Re(z) =a és la part real de z)
  • z-\overline{z} = 2i\,\Im(z) (on \Im(z) =b és la part imàginaria de z)
  • z és real si i només si \bar z = z
  • z és imaginari pur si i només si \bar z = -z
  • \overline{z+w} = \bar z + \bar w
  • \overline{zw} = \bar z \times \bar w ; per consegüent : \overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n si n \in \N
  • z \overline{z} = \left|z\right|^2 ; per consegüent, si z és no nul, z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}
  • \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w} si w\, és no nul.