Conjugat

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex $z$ és el nombre complex format de la mateixa part real que $z$ i de la part imaginària oposada.

Definició

El conjugat d'un nombre complex $z = a + bi\,$, on a i b són reals, és $\bar z = a - bi$.

En el pla complex, el punt d'afix $\bar z$ és el simètric del punt d'afix $z\,$ respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

$\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}$

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats

Sia $(z,w)\in \mathbb{C} ^2$.

• $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$

• $\overline{zw} = \bar z \times \bar w$

• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}$ si $w\,$ és no nul

• si $\operatorname{Im}\left(z\right) = 0$ aleshores $\bar z = z$

• $\left|\bar z\right| = \left|z\right|$

• $z \overline{z} = \left|z\right|^2$

• $z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}$ per a $z$ no nul.