Conjunt connex

Nota: L'article pot necessitar alguna petita correcció

La definició de conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si es possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció trivial. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Definició

Siga $(X, \mathcal{T}) \,$ un espai topològic on $\mathcal{T}\,$ n'és la topologia.

Direm que un subconjunt $C \subseteq X$ és disconnex si $\exists A,B \in \mathcal{T_{|C}}$ tal que $A\ne\varnothing,\, B\ne\varnothing,\, A \cap B = \varnothing \; i\; A\cup B = C$.

Es diu doncs que C es connex en el cas de que no sigui disconnex

Exemples

Conjunts connexos

• Les esferes $S^n, n \geq 1,$ són connexes
• Un punt en $\mathbb{R}^{n}$ és connex
• Un nus és un conjunt connex en $S^3 \,$
• Un tor és un conjunt connex en $\mathbb{R}^3$
• En $\mathbb{R}$, un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
• El complementari d'un punt en $\mathbb{R}^n, n \geq 2,$ és connex

Conjunts disconexs

• El complementari d'un punt en $\mathbb{R}$
• El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a $\mathbb{R}^{n}$
• Un enllaç de $n \,$ components (nusos)

Propietats dels conjunts connexos

Es compleix que si $(X, \mathcal{T}) \,$ és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dóna una caracterització molt útil dels conjunts connexos: $C \subseteq X$ és un conjunt connex si i només si per a tota funció $f \colon C \to \{0,1\} \$ contínua, es compleix que $f$ és una funció constant, on a $\{0,1 \}$ (topologia discreta).

La imatege per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si $({X_i, \mathcal{T}_i}) _{i \in I}$ és una família d'espais topològics connexos (amb $I$ un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors $(\prod_{i \in I}X_i, \mathcal{T})$ també és connex, on $\mathcal{T}$ és la topologia producte.

Finalment, si $\ X$ no és connex, és a dir, si hi ha oberts $\ U, V$ disjunts no buits tals que la seva unió és $\ X$, és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: $\ X$ serà connex si i només si els únics clopen són $\ X \; i\; \varnothing$ (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcs

Vegeu també: Espai connex per camins

Direm que un conjunt $X$ és connex per camins o arc connex si donats $x_{1}, x_{2}\in X$ hi ha un camí continu $\alpha: [0,1] \rightarrow X$ tal que $\alpha (0) = x_{1}$ i $\alpha (1) = x_{2}$.

Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, $X = A \cup B$, on $A ={0}\times] -1,1 [$ i $B = ([0, 1] \times{0}) \cup (\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\}\times [0, 1])$. $X$ és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexes

Donat un espai topològic $(X, \mathcal{T}) \,$ disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt $I \in \mathcal{T}\,$ és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

1. $I \in \mathcal{T}\,$ és connex.
2. Qualsevol conjunt $Z \,$ que conté pròpiament a $I \,$ és disconex.

Es compleix que les components connexes de $X$ formen una partició de $X$.