Conjunt connex

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció trivial. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siga  (X, \mathcal{T}) \, un espai topològic on  \mathcal{T}\, n'és la topologia.

Direm que un subconjunt  C \subseteq X és disconnex si  \exists A,B \in \mathcal{T_{|C}} tal que  A\ne\varnothing,\, B\ne\varnothing,\, A \cap B = \varnothing \; i\; A\cup B = C .

Es diu doncs que C es connex en el cas que no sigui disconnex

Exemples[modifica | modifica el codi]

Conjunts connexos[modifica | modifica el codi]

  • Les esferes  S^n, n \geq 1, són connexes
  • Un punt en  \mathbb{R}^{n} és connex
  • Un nus és un conjunt connex en  S^3 \,
  • Un tor és un conjunt connex en  \mathbb{R}^3
  • En  \mathbb{R}, un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
  • El complementari d'un punt en  \mathbb{R}^n, n \geq 2, és connex

Conjunts disconexos[modifica | modifica el codi]

  • El complementari d'un punt en  \mathbb{R}
  • El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a  \mathbb{R}^{n}
  • Un enllaç de  n \, components (nusos)

Propietats dels conjunts connexos[modifica | modifica el codi]

Es compleix que si  (X, \mathcal{T}) \, és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dóna una caracterització molt útil dels conjunts connexos:  C \subseteq X és un conjunt connex si i només si per a tota funció f \colon C \to \{0,1\} \ contínua, es compleix que  f és una funció constant, on a  \{0,1 \} (topologia discreta).

La imatege per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si  ({X_i, \mathcal{T}_i}) _{i \in I} és una família d'espais topològics connexos (amb  I un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors  (\prod_{i \in I}X_i, \mathcal{T}) també és connex, on  \mathcal{T} és la topologia producte.

Finalment, si  \ X no és connex, és a dir, si hi ha oberts  \ U, V disjunts no buits tals que la seva unió és  \ X , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir:  \ X serà connex si i només si els únics clopen són  \ X \; i\; \varnothing (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcs[modifica | modifica el codi]

Vegeu també: Espai connex per camins

Direm que un conjunt  X és connex per camins o arc connex si donats  x_{1}, x_{2}\in X hi ha un camí continu  \alpha: [0,1] \rightarrow X tal que  \alpha (0) = x_{1} i  \alpha (1) = x_{2}.

Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg,  X = A \cup B , on  A ={0}\times] -1,1 [ i  B = ([0, 1] \times{0}) \cup (\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\}\times [0, 1]) .  X és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexes[modifica | modifica el codi]

Donat un espai topològic  (X, \mathcal{T}) \, disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt  I \in \mathcal{T}\, és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

  1.  I \in \mathcal{T}\, és connex.
  2. Qualsevol conjunt  Z \, que conté pròpiament a  I \, és disconex.

Es compleix que les components connexes de  X formen una partició de  X .