Conjunt tancat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.

Definició d'un conjunt tancat[modifica | modifica el codi]

Donat un espai topològic (X,\tau), un conjunt C\subseteq X és tancat si el seu complementari X\setminus C és un conjunt obert de la topologia \tau.

Això es pot expressar d'altres formes equivalents. com ara:

  • Un conjunt és tancat sii coincideix amb la seva adherència.
  • Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts frontera.
  • Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts d'acumulació.

Propietats dels conjunts tancats[modifica | modifica el codi]

  • La intersecció d'un nombre arbitrari de conjunts tancats és tancat.
  • La unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
  • El conjunt buit i el conjunt total són tancats.

La propietat de la intersecció permet definir l'adherència d'un conjunt A dins un espai X, denotada per \scriptstyle\bar{A}, com el subconjunt tancat de X més petit i que conté A: aquest conjunt és la intersecció de tots els conjunts tancats que inclouen A.

Altres propietats d'interès són:

Exemples de conjunts tancats[modifica | modifica el codi]

  • Qualsevol subconjunt finit de punts de la recta real.
  • L'interval tancat [a,b] dels nombres reals és tancat: el seu complementari (-\infty,a)\cap(b,+\infty) és obert.
  • El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]