Connexió de Levi-Civita

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria de Riemann, la connexió de Levi-Civita (anomenada així per Tullio Levi-Civita) és la connexió lliure de torsió del fibrat tangent, preservant una mètrica de Riemann (o mètrica pseudoriemanniana) donada. El teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que hi ha una connexió única que satisfà aquestes propietats. En la teoria d'una varietat de Riemann o d'una varietat pseudoriemanniana el terme derivada covariant s'utilitza sovint per a la connexió de Levi-Civita. L'expressió en coordenades espacials de la connexió són els anomenats símbols de Christoffel.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Sigui ( M, g ) una varietat de Riemann (o una varietat pseudoriemanniana) llavors una connexió afí  \nabla és una connexió de Levi-Civita si satisfà les condicions següents

  • Preserva la mètrica, és a dir, per a qualssevol camps vectorials X, Y, Z tenim  Xg (Y, Z) = g (\nabla_X Y, Z) g (Y, \nabla_X Z) , on X g ( Y, Z ) denota la derivada de la funció g ( Y, Z ) al llarg del camp vectorial X.
  • És lliure de torsió, és a dir, per a qualssevol camps vectorials X i Y tenim  \nabla_XY-\nabla_YX = [X, Y] , on  [X, Y] és el claudàtor de Lie dels camps vectorials X i Y.

Derivada al llarg d'una corba[modifica | modifica el codi]

La connexió de Levi-Civita defineix també una derivada al llarg un revolt, denotada generalment per D. Atès corba diferenciable γ sobre ( M , g ) i un camp vectorial V en γ seva derivada es defineix com

 \frac{D}{dt}V = \nabla_{\dot \gamma (t)}V .

Connexió estàndard de  \mathbb{R}^n [modifica | modifica el codi]

Per dos camps vectorials  X, Y en l'espai euclidià n-dimensional, aquesta està donada per la regla

 D_XY = (JY) X \,

on  JY és el jacobià de Y.

Connexió induïda en superfícies de  \mathbb{R}^3 [modifica | modifica el codi]

Per a un parell de camps vectorials tangents a una superfície (varietat de codimensió 1 a  \mathbb{R}^3 ) es pot induir una derivada covariant mitjançant el càlcul

 \nabla_XY = D_XY-\langle n, D_XY \rangle n

relació coneguda com a equació de Gauss. És fàcil demostrar que  \nabla_XY satisfà les mateixes propietats que D .

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]