Constant de Lebesgue

En anàlisi numèrica, més concretament en interpolació polinòmica, s'anomena la constant de Lebesgue a un nombre que permet veure si una distribució de nodes és numèricament estable o no. És a dir, actua com a nombre de condició d'aquesta distribució.

Introducció

En anàlisi numèrica, moltes vegades és necessari dur a terme la interpolació de funcions mitjançant polinomis. Un tema important a tractar és el de si augmentant el nombre de nodes, aconseguirem que el polinomi interpolador convergeixi cap a la funció real. És per resoldre aquesta qüestió que és necessària la constant de Lebesgue.

Cal recordar, a més a més, la definició de polinomis de Lagrange. Sigui $\{x_j\}_{0 \leq j \leq n}$ un conjunt de n+1 nodes, definim el cardinal j-èssim de grau n de Lagrange com:

$\ell_{j,n}(x) = \prod_{i \neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i}$

Per últim, cal dir que en aquest article utilitzarem la següent notació:

$\|f(x)\| = \max_{-1 \leq x \leq 1} |f(x)|$

Aquesta és la norma que ens permetrà treballar i a partir de la qual podrem conèixer la precisió amb la que hem interpolat una funció.

Definició

Primer de tot cal una definició:

Sigui $X$ la matriu d'una distribució de nodes, s'anomena funció de Lebesgue a: $\lambda_n(X, x) = \sum_{j = 0}^n | \ell_{j,n}(X,x)|$

On $\ell_j(x)$ és el cardinal j-èssim de Lagrange associat a la distribució de nodes. Definim, doncs, la constant de Lebesgue de la següent manera:

Sigui $\,X$ la matriu d'una distribució de nodes, i sigui $\lambda_n(X,x)$ la seva funció de Lebesgue, definim la constant de Lebesgue com: $\Lambda_n(X) = \|\lambda_n(X, x)\| = \max_{-1 \leq x \leq 1} \lambda_n(X,x)$

Utilitat

Suposem que $\,\Pi_n f(x)$ és el polinomi interpolador de la funció en l'interval $[-1,1]\,$, i que $\Pi_n \tilde{f}(x)\,$ és el polinomi interpolador que passa pels mateixos nodes.

Distribucions regulars de nodes

Podem conèixer les constant de Lebesgue per algunes distribucions molt concretes dels nodes d'interpolació. Per exemple, la constant per una distribució equiespaiada dels nodes és:

$\Lambda_n^{\mathrm{EQUI}} \simeq \frac{2^{n+1}}{e n \log n}$

Hi ha altres distribucions de nodes que són més estables, com per exemple els nodes de Txebixev. La seva constant de Lebesgue és:

$\frac{2}{\pi}\log(n+1) + 0.9625... \leq \Lambda_n^{\mathrm{TXEB}} \leq \frac{2}{\pi}\log(n+1) + 1$