Constant de Lebesgue

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi numèrica, més concretament en interpolació polinòmica, s'anomena la constant de Lebesgue a un nombre que permet veure si una distribució de nodes és numèricament estable o no. És a dir, actua com a nombre de condició d'aquesta distribució.

Introducció[modifica | modifica el codi]

En anàlisi numèrica, moltes vegades és necessari dur a terme la interpolació de funcions mitjançant polinomis. Un tema important a tractar és el de si augmentant el nombre de nodes, aconseguirem que el polinomi interpolador convergeixi cap a la funció real. És per resoldre aquesta qüestió que és necessària la constant de Lebesgue.

Cal recordar, a més a més, la definició de polinomis de Lagrange. Sigui \{x_j\}_{0 \leq j \leq n} un conjunt de n+1 nodes, definim el cardinal j-èssim de grau n de Lagrange com:

\ell_{j,n}(x) = \prod_{i \neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i}

Per últim, cal dir que en aquest article utilitzarem la següent notació:

\|f(x)\| = \max_{-1 \leq x \leq 1} |f(x)|

Aquesta és la norma que ens permetrà treballar i a partir de la qual podrem conèixer la precisió amb la que hem interpolat una funció.

Definició[modifica | modifica el codi]

Primer de tot cal una definició:

Sigui X la matriu d'una distribució de nodes, s'anomena funció de Lebesgue a:

\lambda_n(X, x) = \sum_{j = 0}^n | \ell_{j,n}(X,x)|

On \ell_j(x) és el cardinal j-èssim de Lagrange associat a la distribució de nodes. Definim, doncs, la constant de Lebesgue de la següent manera:

Sigui \,X la matriu d'una distribució de nodes, i sigui \lambda_n(X,x) la seva funció de Lebesgue, definim la constant de Lebesgue com:

\Lambda_n(X) = \|\lambda_n(X, x)\| = \max_{-1 \leq x \leq 1} \lambda_n(X,x)

Utilitat[modifica | modifica el codi]

Suposem que \,\Pi_n f(x) és el polinomi interpolador de la funció en l'interval [-1,1]\,, i que \Pi_n \tilde{f}(x)\, és el polinomi interpolador que passa pels mateixos nodes.

Distribucions regulars de nodes[modifica | modifica el codi]

Podem conèixer les constant de Lebesgue per algunes distribucions molt concretes dels nodes d'interpolació. Per exemple, la constant per una distribució equiespaiada dels nodes és:

\Lambda_n^{\mathrm{EQUI}} \simeq \frac{2^{n+1}}{e n \log n}

Hi ha altres distribucions de nodes que són més estables, com per exemple els nodes de Txebixev. La seva constant de Lebesgue és:

\frac{2}{\pi}\log(n+1) + 0.9625... \leq \Lambda_n^{\mathrm{TXEB}} \leq \frac{2}{\pi}\log(n+1) + 1