Constants trigonomètriques exactes

Constants trigonomètriques exactes dels angles múltiples de 30 i de 45 graus representades en la circumferència goniomètrica

Les expressions per a les constants trigonomètriques exactes de vegades són útils, principalment per a simplificar altres expressions, transformant-les de manera que en comptes d'intervenir funcions trigonomètriques intervinguin radicals que després es poden simplificar.

Tots els valors de les funcions trigonomètriques d'angles múltiples de 3° es poden obtenir a partir de les identitats trigonmètriques de l'angle meitat i de la suma i diferència d'angles, i dels valors de les funcions trigonomètriques dels angles de 0°, 30°, 36° i 45°. Fixeu-vos que 1° = π/180 radians.

Aquest article és incomplert, pel capdavall en dos sentits. Primer, sempre es pot aplicar la fórmula de l'angle meitat per a trobar l'expressió de cosinus de la meitat de l'angle més petit de la taula. En segon lloc, aquest article només fa servir els dos primers dels cinc nombres primers de Fermat coneguts: 3 i 5; i les funcions trigonomètriques d'altres angles, com ara 2π/7, 2π/9 (= 40°), i 2π/13 (així com altres polígons construïbles, 2π/17, 2π/257, or 2π/65537) també són resolubles per radicals. A la pràctica, tots els valors de les funcions trigonomètriques que no es troben en aquest article s'aproximen fent servir tècniques que es descriuen en l'article Construcció de les taules trigonomètriques.

Càlcul de les funcions dels angles de partida

Tots els valors de les funcions trigonomètriques dels angles múltiples de 3º es poden calcular a partir dels valors dels angles de 30,45 i 36 graus. Tot seguit s'explica com es calculen els valors de les constants trigonomètriques d'aquests angles de partida.

Angle de 30º

La corda(60°) = r/r = 1

Mètode geomètric

Observant l'hexàgon de la figura, l'angle que formen els dos radis és de 360º/6=60º i l'angle que formen els radis amb els costats és de 120º/2=60º, per tant el triangle format pels dos radis i el costat és equilàter. Llavors la corda de l'angle que formen els dos radis, es a dir la corda de 60% és:

$\text{crd}\left( 60^{{}^\circ } \right)=\frac{r}{r}=1$

Per tant el sinus de l'angle de 30º ha de ser:

$\sin \left( 30^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}\text{crd}\left( 2\cdot 30^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}$

Aplicant la identitat trigonomètrica de Pitàgores s'obté el cosinus:

$\cos \left( 30^{{}^\circ } \right)=\sqrt{1-\sin ^{2}\left( 30^{{}^\circ } \right)}=\sqrt{1-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mètode algebraic

Aplicant la identitat trigonomètrica de l'angle triple es té:

$\begin{align} & \cos \left( 3\cdot 30^{{}^\circ } \right)=4\cos ^{3}\left( 30^{{}^\circ } \right)-3\cos \left( 30^{{}^\circ } \right) \\ & 4\cos ^{3}\left( 30^{{}^\circ } \right)-3\cos \left( 30^{{}^\circ } \right)=0 \\ \end{align}$

Com que cos(30) és diferent de zero, dividint per cos(30) i resolent queda:

$\begin{align} & 4\cos ^{2}\left( 30^{{}^\circ } \right)-3=0 \\ & \cos \left( 30^{{}^\circ } \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}$

A partir d'aquí aplicant la identitat pitagòrica:

$\sin \left( 30^{{}^\circ } \right)=\sqrt{1-\cos ^{2}\left( 30^{{}^\circ } \right)}=\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{4}}=\frac{1}{2}$

Angle de 45º

A partir del teorema de Pitàgores la corda(90°) = L/r = √2

Mètode geomètric

Observant el quadrat la figura, l'angle que formen els dos radis és de 90º, per tant pel teorema de Pitàgores la longitud del costat ha de ser:

$L=\sqrt{r^{2}+r^{2}}=r\sqrt{2}$

Llavors la corda de l'angle de 90º resulta:

$\text{crd}\left( 90^{{}^\circ } \right)=\frac{L}{r}=\frac{r\sqrt{2}}{r}=\sqrt{2}$

Per tant el sinus de 45º és:

$\sin \left( 45^{{}^\circ } \right)=\frac{1}{2}\text{crd}\left( 2\cdot 45^{{}^\circ } \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

I aplicant la identitat pitagòrica, el cosinus és:

$\cos \left( 45^{{}^\circ } \right)=\sqrt{1-\sin ^{2}\left( 45^{{}^\circ } \right)}=\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}=\sqrt{\frac{4-2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Mètode algebraic

Aplicant les identitats trigonomètriques de l'angle meitat a 90º/2=45º i tenint en compte que cos(90º)=0, dona de forma immediata:

$\begin{align} & \sin \left( \frac{90^{{}^\circ }}{2} \right)=\sqrt{\frac{1-\cos \left( 90^{{}^\circ } \right)}{2}}=\sqrt{\frac{1-0}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \cos \left( \frac{90^{{}^\circ }}{2} \right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left( 90^{{}^\circ } \right)}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align}$

Angle de 36º

La corda(108°) = b/a = φ, a partir del teorema de Ptolemeu

Mètode geomètric

Observant la figura l'angle DCB és un dels angles del pentàgon i per tant mesura 108º, com que els costats CD i CB són iguals, aquest triangle és isòsceles i per tant la corda de l'angle de 108º és:

$\text{crd}(108^{{}^\circ })=\text{crd}(\angle D\text{CB})=\frac{b}{a}$

Aplicant el teorema de Ptolemeu al quadrilàter cíclic ABCD s'obté:

$b^{2}=ab+a^{2}$

Dividint els dos cantons de la igualtat entre $a^2$ i operant resulta:

$\begin{align} & \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}} \\ & \left( \frac{b}{a} \right)^{2}-\left( \frac{b}{a} \right)-1=0 \\ & \frac{b}{a}=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2} \\ \end{align}$

Com que la corda és més gran que zero ha de ser:

$\text{crd}(108^{{}^\circ })=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Que és la secció àuria. Aplicant la fórmula que permet expressar la corda en funció del sinus, aplicant les identitats trigonomètriques de reflexió i pitagòrica i operant, s'obtenen el sinus i el cosinus de l'angle de 36º:

$\begin{align} & \sin (54^{{}^\circ })=\frac{1}{2}\text{crd}(2\centerdot 54^{{}^\circ })=\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\ & \cos (36^{{}^\circ })=\sin (90^{{}^\circ }-36^{{}^\circ })=\sin (54^{{}^\circ })=\frac{1+\sqrt{5}}{4} \\ & \sin (36^{{}^\circ })=\sqrt{1-\cos ^{2}(36^{{}^\circ })}=\sqrt{1-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^{2}} \\ & \sin (36^{{}^\circ })=\frac{\sqrt{16-\left( 1+2\sqrt{5}+5 \right)}}{4}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=\frac{\sqrt{2\left( 5-\sqrt{5} \right)}}{4} \\ \end{align}$

Mètode algebraic

Les identitats de l'angle múltiple per x = {18, 36, 54, 72, 90} i 5x = {90, 180, 270, 360, 450}, es poden resoldre per x, donat que es coneixen els valors de 5x. Les identitats de l'angle múltiple són:

$\sin{5x} = 16 \sin^5 x - 20\sin^3 x + 5 \sin x$

$\cos{5x} = 16 \cos^5 x - 20\cos^3 x + 5 \cos x$

• On sin 5x = 0 o cos 5x = 0, es fa y = sin x o y = cos x i es troba y:

$16 y^5 - 20 y^3 + 5y = 0$

Una solució és zero, l'equació de quart grau que en resulta es pot resoldre com una equació quadràtica en $y^2$.

• Quan sin 5x = 1 o cos 5x = 1, es fa altre cop y = sin x o y = cos x i es resol y:

$16 y^5 - 20 y^3 + 5y - 1 = 0$

que es descompon en els factors

$(y - 1)(4y^2 + 2y - 1)^2 = 0$

Taula de les constants

Sinus i cosinus

Tot seguit es presenten els valors del sinus i el cosinus del angles de 3 en 3 graus obtinguts a partir dels valors anteriors amb indicació de les identitats que s'apliquen per a trobar-los.

Angle	Càlcul	Sinus	Cosinus
3º	(36-30)/2	$\frac{ 2 (1 - \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 + 1) }{16}$	$\frac{ 2 (1 + \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 - 1) }{16}$
6º	36-30	$\frac{(\sqrt6) \sqrt{5 - \sqrt5} - (\sqrt5 + 1)}{8}$	$\frac{(\sqrt2) \sqrt{5- \sqrt5} + \sqrt3( \sqrt5+1)}{8}$
9º	(36/2)/2	$\frac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) - 2\sqrt{5 - \sqrt5}}{8}$	$\frac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) + 2\sqrt{5 - \sqrt5}}{8}$
12º	2*(36-30)	$\frac{(\sqrt2) \sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt 3 (\sqrt 5 -1)}{8}$	$\frac{(\sqrt6) \sqrt{5 + \sqrt5} + (\sqrt 5 - 1)}{8}$
15º	30/2	$\frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 - 1\right)}{4}$	$\frac{\sqrt 2 \left(\sqrt 3 + 1\right)}{4}$
18º	36/2	$\frac{\sqrt 5 - 1}{4} = \frac{\varphi - 1}{2} = \frac{1}{2\varphi}$	$\frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$
20º	60/3	$2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}})$	$2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1-i\sqrt{3}})$
21º	15+6	$\frac{2(\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} - \sqrt 2 (\sqrt 3 - 1) (1 + \sqrt 5)} {16}$	$\frac{2 (\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1) (1 + \sqrt 5)} {16}$
22,5º	45/2	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
24º	2*12	$\frac{\sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5}}{8}$	$\frac{\sqrt6 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt5 + 1}{8}$
27º	12+15	$\frac{(\sqrt5 + 1 ) \sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt2(\sqrt5 - 1)}{8}$	$\frac{(\sqrt5 + 1 ) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2(\sqrt5 - 1)}{8}$
30º	Hexàgon	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt 3}{2}$
33º	15+18	$\frac{2(\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (1 + \sqrt 3) (\sqrt 5 - 1)} {16}$	$\frac{2 (\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (1 - \sqrt 3) (\sqrt 5 - 1)} {16}$
36º	Pentàgon	$\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$	$\frac{1+\sqrt 5}{4} = \frac{\varphi}{2}$
39º	15+24	$\frac{2(1-\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1)(\sqrt 5 + 1)}{16}$	$\frac{2 (1+\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt2(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 5 + 1)}{16}$
42º	18+24	$\frac{ \sqrt6 \sqrt{5 + \sqrt5} - (\sqrt5 - 1)}{8}$	$\frac{ \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{8}$
45º	Quadrat	$\frac{\sqrt 2}{2}$	$\frac{\sqrt 2}{2}$
60º	Triangle	$\frac{\sqrt 3}{2}$	$\frac{1}{2}$

Tangent i cotangent

A partir del valors del sinus i del cosinus es calculen els de la tangent i la cotangent emprant les identitats: tan(x)=sin(x)/cos(x) i cor(x)=1/tan(x).

Angle	Tangent	Cotangent
3º	$\frac{ \left( (2 - \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}$	$\frac{ \left( (2 + \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}$
6º	$\frac{(\sqrt2) \sqrt{5 - \sqrt5} - \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{2}$	$\frac{\sqrt3 (3 + \sqrt5) + \sqrt{50 + 22 \sqrt5}}{2}$
9º	$\sqrt5 + 1 - \sqrt{5 + 2\sqrt5}$	$\sqrt5 + 1 + \sqrt{5 + 2\sqrt5}$
12º	$\frac{(\sqrt3) (3 - \sqrt5 ) - \sqrt{50 - 22 \sqrt5}}{2}$	$\frac{\sqrt3 (\sqrt5 + 1) + \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}{2}$
15º	$2 - \sqrt 3$	$\cot 15^\circ = 2 + \sqrt 3$
18º	$\frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$	$\sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$
21º	$\frac{ \left(2 - (2 + \sqrt3) (3 - \sqrt5) \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}$	$\frac{ \left(2 - (2 - \sqrt3) (3 - \sqrt5) \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 +\sqrt5)}\right) }{4}$
22,5º	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{2}+1$
24º	$\frac{\sqrt{50 + 22 \sqrt5} - \sqrt3 (3 + \sqrt5)}{2}$	$\frac{\sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}{2}$
27º	$\sqrt5 - 1 - \sqrt{5 - 2 \sqrt5}$	$\sqrt5 - 1 + \sqrt{5 - 2 \sqrt5}$
30º	$\frac{\sqrt 3}{3}$	$\frac{3}{\sqrt 3} = \sqrt 3$
33º	$\frac{ \left(2 - (2 - \sqrt3) (3 + \sqrt5) \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}$	$\frac{ \left(2 - (2 + \sqrt3) (3 + \sqrt5) \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }{4}$
36º	$\sqrt{5 - 2\sqrt 5}$	$\frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$
39º	$\frac{ \left( (2 - \sqrt3) (3 - \sqrt5) - 2 \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}$	$\frac{ \left( (2 + \sqrt3) (3 - \sqrt5) - 2 \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 + \sqrt5)}\right) }{4}$
42º	$\frac{ \sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}{2}$	$\frac{ \sqrt{50 - 22 \sqrt5} + \sqrt3(3 - \sqrt5)}{2}$
45º	$1$	$1$
60º	$\sqrt 3$	$\frac{1}{\sqrt 3}$

Vegeu també

• Funció trigonomètrica
• Llista d'identitats trigonomètriques
• Demostració de les identitats trigonomètriques
• Teorema de Ptolemeu

Referencies

• Weisstein, Eric W., "Constructible polygon" a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., "Trigonometry angles" a MathWorld (en anglès).
  • π/3 (60°) / π/6 (30°) / π/12 (15°) / π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) / π/8 (22.5°) / π/16 (11.25°) /π/32 (6.625°)
  • π/5 (36°) / π/10 (18°) / π/20 (9°)
  • π/7 / π/14
  • π/9 (20°) / π/18 (10°)
  • π/11
  • π/13
  • π/15 (12°) / π/30 (6°)
  • π/17
  • π/19
  • π/23

Enllaços externs

• Constructible Regular Polygons
• Naming polygons