Continuació analítica

Introducció

Es consideri un punt $p$ del pla complex i la sèrie de potències en $z-p$:

$\alpha_0+\alpha_1(z-p)+ \alpha_2(z-p)^2+ \alpha_3(z-p)^3+...$

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle $C_1$ de centre $p$ i doncs hi definiex una funció holomorfa $f$; escrivem $f_p$ per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt $q\in C_1$ i desenvolupem $f$ en sèrie de potències de $z-q$:

$f_q(z)=\beta_0+\beta_1(z-q)+ \beta_2(z-q)^2+ \beta_3(z-q)^3+...$

Si és cas que el cercle de convergència $C_2$ d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en $C_1$, hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de $f$, mitjançant la definició: $f(z):= \left\{ \begin{matrix} f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\ f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2 \end{matrix} \right.$

Aquesta definició és bé posada, perquè $z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow f_p(z) =f_q(z)$.

Direm que l'extenció de $f$ a $C_1\cup C_2$ així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$; direm també que $f_q :C_2\rightarrow \mathbb C$ és una continuació analítica de $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$ i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n} {2^{n+1}}\ (\vert z \vert<2)$ i $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i) ^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i \vert<\sqrt{5}$ són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció $z\mapsto 1/(2-z)$. Més en general, si és cas que $f$, definida a priori dins un conjunt obert $U\subset\mathbb C$, es pugui restringir a un conjunt obert $V\subset U$ i successivament $f\vert_V$ pugui ésser prolongada a un conjunt obert $W\not\subset U$, direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de $f$.

Les definicions bàsiques

Un element de funció 1holomorfa és un parell $\left(U,f \right)$, on $U$ és un conjunt obert a conexió simple del pla complex, $f:U\rightarrow \mathbb C$ una funció holomorfa definida en $U$, que pren valors en $\mathbb C$. Dos elements $\left(U,f \right)$ i $\left(V,g \right)$ són conectables si existeix una successió finita

$\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$,

tal que $\left(U_0,f_0 \right)=\left(U,f \right)$, $\left(U_n,f_n \right)=\left(V,g \right)$ i, per a tot $j=0,....,n-1$,

$\left\{ \begin{matrix} & U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\ & f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j} \vert_{U_j\cap U_{j+1}}. \end{matrix} \right.$

Direm que $\ \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\$ és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Els elements $\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$ es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C$ (per a senzillesa suposem que $\gamma$ sigui $C^1$ a trets) és una continuació analítica $\{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}$ tal que $\bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1])$.

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació $\varphi$ de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de $1$, tal que $\varphi(1)=1$.

Es pot veure $\varphi$, en coordenades polars, com a l'aplicació que envia $\varrho \exp(i\vartheta)$ cap a $\sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2)$, on $\sqrt{\ }$ indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem $\varphi$ al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de $\vartheta$ igual a $2\pi$, obtenim un nou element de funció holomorfa $\psi$ en un entorn de $1$, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de $2\pi$ l'argument de $z$.

Doncs, $\arg(\psi(z)) =\arg(\varphi(z))+\pi$, és a dir $\varphi=-\psi$. Naturalment, una altra volta de $2\pi$ ens porta de bell nou a l'element de partida $\varphi$.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gracies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals

Es consideri un element de funció holomorfa $(U,f)$: pot succeir que, per a cada restricció $(V,g )$ de $(U,f)$ (és a dir, $V\subset U$ i $g=f\vert_V$) no existeixi cap continuació analítica $(W,h)$ de $(V,g )$ tal que $W\cap U\not\subset U$. Si és cas, direm que $\partial U$ és una frontera natural per a l'element $(U,f)$. Considerem per exemple la série de potències

$\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+ z^8+...$:

gracies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc $\vert z\vert<1$, i doncs hi definieix una funció holomorfa $h$. De més, $h(z)\to\infty$ llavors que $z\to 1$ al llarg de l'eix real. Puix que $h(z^2)=1+z^4+z^8+ z^{16}+...=h(z)-z^2$ hom ha $\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} h(z) =$ $\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} \left(z^2+h(z^2) \right) =\infty$.

De la mateixa manera, $h(z)=z^2+z^4+h(z^4)$, doncs $h\to\infty$ llavors que $z\to\pm i$ al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, $h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})$, per a tot nombre natural $n$, doncs $h\to\infty$ llavors que $z\to \exp({2k\pi/2^n})$ al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma $\exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z$ és dens dins el cercle $\mathbb T=\{\vert z\vert=1\}$, doncs $h$ no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és doncs una frontera natural.

Observem que $h$ pot tampoc ser continuada als punts de $\mathbb T$ com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, $1/h$ s'anul$\cdot$laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria doncs identicament zero.