Continuació analítica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Introducció[modifica | modifica el codi]

Es consideri un punt p del pla complex i la sèrie de potències en z-p:


\alpha_0+\alpha_1(z-p)+
\alpha_2(z-p)^2+
\alpha_3(z-p)^3+...

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle C_1 de centre p i doncs hi definiex una funció holomorfa f; escrivem  f_p per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt q\in C_1 i desenvolupem f en sèrie de potències de z-q:


f_q(z)=\beta_0+\beta_1(z-q)+
\beta_2(z-q)^2+
\beta_3(z-q)^3+...

Si és cas que el cercle de convergència C_2 d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en C_1, hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de f, mitjançant la definició: 
f(z):=
\left\{
\begin{matrix}
f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\
f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2
\end{matrix}
\right.

Aquesta definició és bé posada, perquè  z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow f_p(z)
=f_q(z).

Direm que l'extenció de  f a C_1\cup C_2 així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C ; direm també que  f_q :C_2\rightarrow \mathbb C és una continuació analítica de  f_p :C_1\rightarrow \mathbb C i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}
{2^{n+1}}\ (\vert z \vert<2) i \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)
^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i \vert<\sqrt{5} són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció z\mapsto 1/(2-z). Més en general, si és cas que f, definida a priori dins un conjunt obert U\subset\mathbb C, es pugui restringir a un conjunt obert V\subset U i successivament f\vert_V pugui ésser prolongada a un conjunt obert W\not\subset U, direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de f.

Les definicions bàsiques[modifica | modifica el codi]

Un element de funció 1holomorfa és un parell \left(U,f \right), on U és un conjunt obert a conexió simple del pla complex, f:U\rightarrow \mathbb C una funció holomorfa definida en U, que pren valors en \mathbb C. Dos elements \left(U,f \right) i \left(V,g \right) són conectables si existeix una successió finita

 \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n},

tal que \left(U_0,f_0 \right)=\left(U,f \right), \left(U_n,f_n \right)=\left(V,g \right) i, per a tot j=0,....,n-1,


\left\{
\begin{matrix}
& U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\
& f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j}
\vert_{U_j\cap U_{j+1}}.
\end{matrix}
\right.


Direm que \ \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\ és una continuació analítica de  (U,f) (o de  (V,g) ). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de (U,f) (o de  (V,g) ). Els elements  \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n} es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí \gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C (per a senzillesa suposem que \gamma sigui C^1 a trets) és una continuació analítica  \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n} tal que \bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1]).

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació \varphi de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de 1, tal que \varphi(1)=1.

Es pot veure \varphi, en coordenades polars, com a l'aplicació que envia \varrho \exp(i\vartheta) cap a \sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2), on \sqrt{\ } indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem \varphi al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de \vartheta igual a  2\pi , obtenim un nou element de funció holomorfa \psi en un entorn de 1, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de 2\pi l'argument de z.

Doncs, \arg(\psi(z))
=\arg(\varphi(z))+\pi, és a dir \varphi=-\psi. Naturalment, una altra volta de 2\pi ens porta de bell nou a l'element de partida \varphi.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals[modifica | modifica el codi]

Es consideri un element de funció holomorfa (U,f) : pot succeir que, per a cada restricció  (V,g ) de (U,f) (és a dir,  V\subset U i  g=f\vert_V ) no existeixi cap continuació analítica  (W,h) de  (V,g ) tal que 
W\cap U\not\subset U. Si és cas, direm que  \partial U és una frontera natural per a l'element (U,f) . Considerem per exemple la série de potències

\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+
z^8+...:

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc \vert z\vert<1, i doncs hi definieix una funció holomorfa  h . De més,  h(z)\to\infty llavors que z\to 1 al llarg de l'eix real. Puix que 
h(z^2)=1+z^4+z^8+
z^{16}+...=h(z)-z^2
hom ha 
\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
h(z)
= 
\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R}
\left(z^2+h(z^2) \right)
=\infty
.

De la mateixa manera, h(z)=z^2+z^4+h(z^4), doncs h\to\infty llavors que z\to\pm i al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, 
h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})
, per a tot nombre natural n , doncs h\to\infty llavors que z\to \exp({2k\pi/2^n}) al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma \exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z és dens dins el cercle \mathbb T=\{\vert z\vert=1\} , doncs  h no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és doncs una frontera natural.

Observem que h pot tampoc ser continuada als punts de  \mathbb T com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, 1/h s'anul\cdotlaria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria doncs idènticament zero.