Convergència (successió matemàtica)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en el què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

Definició[modifica | modifica el codi]

Una successió d'elements \,\{x_n\} d'un espai mètric (M,d)\, convergeix a un element x \in M si per a qualsevol nombre real \varepsilon > 0 , existeix un enter positiu N\, (que depèn de \,\varepsilon) que

 n \geq N \Rightarrow d(x_n,x) < \varepsilon .

S'acostuma a escriure com

 \lim_{n \to \infty} x_n = x

o també

 x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{quan} \quad n \to \infty

o simplement

 x_n \to x.

Intuïtivament, això vol dir que els elements x_n\, de la successió poden ser tan propers a x\, com vulguem si n\, és prou gran, ja que \,d(x_n, x) determina la distància entre \,x_n i \,x. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat (E, \Vert \cdot \Vert), la norma \Vert \cdot \Vert indueix la mètrica d(x,y):=\Vert y - x \Vert per cada x,y \in E ; en el cas dels espais amb producte intern (E,\langle\cdot,\cdot\rangle), el producte intern  \langle \cdot,\cdot \rangle indueix la norma \Vert x \Vert = \sqrt{\langle x,x\rangle} per cada  x \in E .

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Successions a \mathbb R o \mathbb C

Els conjunts dels nombres reals  \mathbb R i dels nombres complexos  \mathbb C es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements x,y \in \mathbb R o  \mathbb C , la funció d(x,y) := \vert y-x \vert determina una mètrica.

Per tant, una successió \,\{x_n\} en M=\mathbb R convergeix a un x\in \mathbb R si per qualsevol  \varepsilon > 0, existeix un enter \, N tal que

 n \geq N \Rightarrow \vert x_n - x \vert < \varepsilon.

Alguns exemples poden ser:

  • La successió constant definida per \,x_n := c per a tots els valors de \, N , on  c \in \mathbb R . Aquesta successió convergeix a \,c ja que:
\vert x_n - c \vert = \vert c - c \vert = 0 < \varepsilon
  • La successió \, x_n := 1 / n . Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada  \varepsilon > 0 , existeix un nombre natural \,N tal que N \varepsilon > 1 , i per tant, si n>\,N, 1 / n < 1 / N i llavors:
\vert x_n - 0 \vert = \vert 0 \vert = 1 / n < 1 / N < \varepsilon.
  • La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si \,p>0,
 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p}=0, \quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]p = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1
  • Si \vert a \vert < 1 , llavors  a^n \to 0.
  • La successió \,z_n := e ^ {i \pi n} . En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en \, -1, 1, -1, 1, \ldots
  • Donat que \mathbb c (en particular \mathbb R ) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió \{a_n\}\, a \mathbb c (en particular \mathbb R ) és possible associar-li la successió de sumes parcials
s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k.
La successió \{s_n\}\, s'expressa com
 \sum_{k=1}^\infty a_k
i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi, s_n \to s, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu
\sum_{k=1}^\infty a_k = s.
En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són
\sum_{n=1}^\infty a^n = \frac{a}{1-a}, (\vert a \vert < 1), \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty, \quad \sum_{n=1}^k (-1)^n = \begin{cases} -1,& \mbox{si } k \mbox{ imparell} \\ \quad 0,& \mbox{si } k \mbox{ parell} \end{cases}