Coordenades el·líptiques

Sistema de coordenades el·líptiques.

Les coordenades el·líptiques són un sistema bidimensional de coordenades curvilínies ortogonals en els quals les línies coordenades són el·lipses confocals i hipèrboles. Els dos focus $F_{1}$ i $F_{2}$ estan generalment fixes en les posicions $x=-a$ i $x=+a$, respectivament, sobre l'eix $OX$ d'un sistema cartesià els eixos són eixos de simetria de les línies coordenades hiperbòliques i el·líptiques.

Les coordenades el·líptiques cilíndriques són un sistema tridimensional obtingut fent girar el sistema anterior al voltant de l'eix de focus i afegint una coordenada angular polar addicional.

Definició

La definició més comuna de les coordenades el·líptiques bidimensionals $(\mu ,\nu )$ és:

${\begin{cases}x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}}$

On:

$\mu \,$ és un nombre real no negatiu i

$\nu \in [0,2\pi )\,$.

En el pla complex, hi ha una relació equivalent donada per:

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$

Aquestes definicions corresponen a el·lipses i hipèrboles. La identitat trigonomètrica:

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

mostra que les corbes amb $\mu \,$ constant són el·lipses, mentre que la identitat trigonomètrica hiperbòlica:

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

mostra que les corbes amb $\nu \,$ constant són hipèrbolas.

Aplicacions

Les aplicacions clàssiques de les coordenades el·líptiques són resolució de equacions en derivades parcials com l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals les coordenades líptiques admeten separació de variables. Un exemple típic és la càrrega elèctrica que envolta un conductor pla d'amplada 2 a . O el camp de dues càrregues elèctriques puntuals del mateix signe a una distància 2 a .