Coordenades el·líptiques

Sistema de coordenades líptiques.

Les coordenades líptiques són un sistema bidimensional de coordenades curvilínies ortogonals en els quals les línies coordenades són el·lipses confocals i hipèrboles. Els dos focus $F_{1}$ i $F_{2}$ estan generalment fixes en les posicions $x =-a$ i $x =+a$, respectivament, sobre l'eix $OX$ d'un sistema cartesià els eixos són eixos de simetria de les línies coordenades hiperbòliques i líptiques.

Les coordenades líptiques cilíndriques són un sistema tridimensional obtingut fent girar el sistema anterior al voltant de l'eix de focus i afegint una coordenada angular polar addicional.

Definició

La definició més comú de les coordenades el·líptiques bidimensionals $(\mu,\nu)$ és:

$\begin{cases} x = a\ \cosh\mu\ \cos\nu\\ i = a\ \sinh\mu\ \sin\nu\end{cases}$

On:

$\mu\,$ és un nombre real no negatiu i

$\nu\in [0, 2\pi)\,$.

En el pla complex, hi ha una relació equivalent donada per:

$x+iy = a\ \cosh (\mu+i\nu)$

Aquestes definicions corresponen a el·lipses i hipèrboles. La identitat trigonomètrica:

$\frac{x^{2}}{a^{2}\cosh^{2}\mu}+\frac{y^{2}}{a^{2}\sinh^{2}\mu}=\cos^{2}\nu+\sin^{2}\nu = 1$

mostra que les corbes amb $\mu\,$ constant són el·lipses, mentre que la identitat trigonomètrica hiperbòlica:

$\frac{x^{2}}{a^{2}\cos^{2}\nu}-\frac{y^{2}}{a^{2}\sin^{2}\nu}=\cosh^{2}\mu -\sinh^{2}\mu = 1$

mostra que les corbes amb $\nu\,$ constant són hipèrbolas.

Aplicacions

Les aplicacions clàssiques de les coordenades líptiques són resolució de equacions en derivades parcials com l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals les coordenades líptiques admeten separació de variables. Un exemple típic és la càrrega elèctrica que envolta un conductor pla d'amplada 2 a . O el camp de dues càrregues elèctriques puntuals del mateix signe a una distància 2 a .