Coordenades ortogonals

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un sistema de coordenades ortogonals és un sistema de coordenades tal que a cada punt els vectors tangents a les corbes coordenades són ortogonal és entre si. Aquest tipus de coordenades poden definir-se sobre un espai euclidià o més generalment sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una varietat de (pseudo) riemanniana \mathcal{M}, un conjunt obert  O del mateix i un punt dins d'aquest conjunt obert  m\in O\subset\mathcal{M}, una carta local o" sistema de coordenades "local pot representar per una funció:

\phi: O\subset\mathcal{M}\to\R^d\qquad p\in O\and\phi (p) = (x^1, x^2, ... , x^d)\in\R^d

On d és la dimensió de l'espai on es defineix el sistema de coordenades local. Les d corba s coordenades C i ( t ) i els seus vectors tangents vénen definides per les equacions:

\phi (C_i (t)) = (x_{(0)}^1 ,..., x^i (t ),..., x^n_{(0)})\qquad\mathbf{v}_i = C_i '(t) =\frac{\part}{\part x^i}

El sistema de coordenades serà ortogonal si els vectors tangents a les corbes coordenades x i són ortogonals, és a dir, si:


 g (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0\ (i\ne j),\qquad g (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i) = h_i^2 (x^1, x^2 ,..., x^d)

On g (,) és el tensor mètric de l'espai on es defineixen les coordenades.

Propietats[modifica | modifica el codi]

L'elecció d'un o altre sistema depèn de les simetries del problema geomètric o físic plantejat. Com que tots aquests sistemes de coordenades ortogonals en ells el tensor mètric té la forma:

 (G_{ij}) =\begin{bmatrix}
h_1^2 & 0 & 0\\
0 & h_2^2 & 0\\
0 & 0 & h_3^2\end{bmatrix}

On les tres components no nul són els anomenats factors d'escala són funcions de les tres coordenades.

Operadors vectorials en coordenades ortogonals[modifica | modifica el codi]

Els operadors vectorials poden expressar-se fàcilment en termes d'aquestes components del tensor mètric.


\mbox{grad}\ \Phi =\nabla\Phi =
\frac{1}{h_1}\frac{\part\Phi}{\part x^1}\hat\mathbf{e}_1+
\frac{1}{h_2}\frac{\part\Phi}{\part x^2}\hat\mathbf{e}2+
\frac{1}{h_3}\frac{\part\Phi}{\part x^3}\hat\mathbf{e}_3


\mbox{div}\ \mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left [
\frac{\part}{\part x^1}(h_2 h_3 A_1)+
\frac{\part}{\part x^2}(h_3 h_1 A_2)+
\frac{\part}{\part x^3}(h_1 h_2 A_3)\right]

  • El rotacional ve donat pel desenvolupament del següent determinant:


\mbox{rot}\ \mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1\hat\mathbf{e}_1 & h_2\hat\mathbf{e}_2 & h_3\hat\mathbf{e}_3\\
\part_{x^1}&\part_{x^2}&\part_{x^3}\\
h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3\end{vmatrix}


  • El laplacià d'una magnitud escalar ve donat per:


\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left [
\frac{\part}{\part x^1} \left (\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\part\Phi}{\part x^1}\right)+
\frac{\part}{\part x^2} \left (\frac{h_3 h_1}{h_2}\frac{\part\Phi}{\part x^2}\right)+
\frac{\part}{\part x^3} \left (\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\part\Phi}{\part x^3}\right)\right]

Exemples en l'espai euclidià[modifica | modifica el codi]

A l'espai euclidià tridimensional es fan servir diferents sistemes de coordenades, de vegades, combinant tipus de coordenades ortogonals i angulars:

Exemples en varietats diferencials[modifica | modifica el codi]

La coordenades usades en la teoria de la relativitat general són l'exemple físic més conegut de sistemes de coordenades sobre un espai globalment no-euclidià.

En un espai-temps estàtic sempre és possible escollir al voltant de qualsevol punt del espai-temps un sistema de coordenades ortogonal.