Coordenades ortogonals

Un sistema de coordenades ortogonals és un sistema de coordenades tal que a cada punt els vectors tangents a les corbes coordenades són ortogonal és entre si. Aquest tipus de coordenades poden definir-se sobre un espai euclidià o més generalment sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana.

Definició

Donada una varietat de (pseudo) riemanniana $\mathcal{M}$, un conjunt obert $O$ del mateix i un punt dins d'aquest conjunt obert $m\in O\subset\mathcal{M}$, una carta local o" sistema de coordenades "local pot representar per una funció:

$\phi: O\subset\mathcal{M}\to\R^d\qquad p\in O\and\phi (p) = (x^1, x^2, ... , x^d)\in\R^d$

On d és la dimensió de l'espai on es defineix el sistema de coordenades local. Les d corba s coordenades C _i ( t ) i els seus vectors tangents vénen definides per les equacions:

$\phi (C_i (t)) = (x_{(0)}^1 ,..., x^i (t ),..., x^n_{(0)})\qquad\mathbf{v}_i = C_i '(t) =\frac{\part}{\part x^i}$

El sistema de coordenades serà ortogonal si els vectors tangents a les corbes coordenades x _i són ortogonals, és a dir, si:

$g (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0\ (i\ne j),\qquad g (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i) = h_i^2 (x^1, x^2 ,..., x^d)$

On g (,) és el tensor mètric de l'espai on es defineixen les coordenades.

Propietats

L'elecció d'un o altre sistema depèn de les simetries del problema geomètric o físic plantejat. Com que tots aquests sistemes de coordenades ortogonals en ells el tensor mètric té la forma:

$(G_{ij}) =\begin{bmatrix} h_1^2 & 0 & 0\\ 0 & h_2^2 & 0\\ 0 & 0 & h_3^2\end{bmatrix}$

On les tres components no nul són els anomenats factors d'escala són funcions de les tres coordenades.

Operadors vectorials en coordenades ortogonals

Els operadors vectorials poden expressar-se fàcilment en termes d'aquestes components del tensor mètric.

• El gradient ve donat per:

$\mbox{grad}\ \Phi =\nabla\Phi = \frac{1}{h_1}\frac{\part\Phi}{\part x^1}\hat\mathbf{e}_1+ \frac{1}{h_2}\frac{\part\Phi}{\part x^2}\hat\mathbf{e}2+ \frac{1}{h_3}\frac{\part\Phi}{\part x^3}\hat\mathbf{e}_3$

• La divergència ve donada per:

$\mbox{div}\ \mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left [ \frac{\part}{\part x^1}(h_2 h_3 A_1)+ \frac{\part}{\part x^2}(h_3 h_1 A_2)+ \frac{\part}{\part x^3}(h_1 h_2 A_3)\right]$

• El rotacional ve donat pel desenvolupament del següent determinant:

$\mbox{rot}\ \mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \begin{vmatrix} h_1\hat\mathbf{e}_1 & h_2\hat\mathbf{e}_2 & h_3\hat\mathbf{e}_3\\ \part_{x^1}&\part_{x^2}&\part_{x^3}\\ h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3\end{vmatrix}$

• El laplacià d'una magnitud escalar ve donat per:

$\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left [ \frac{\part}{\part x^1} \left (\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\part\Phi}{\part x^1}\right)+ \frac{\part}{\part x^2} \left (\frac{h_3 h_1}{h_2}\frac{\part\Phi}{\part x^2}\right)+ \frac{\part}{\part x^3} \left (\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\part\Phi}{\part x^3}\right)\right]$

Exemples en l'espai euclidià

A l'espai euclidià tridimensional es fan servir diferents sistemes de coordenades, de vegades, combinant tipus de coordenades ortogonals i angulars:

• Coordenades cartesianes
• Coordenades polars
• Coordenades esfèriques
• Coordenades cilíndriques
• Coordenades cilíndriques el·líptiques
• Coordenades cilíndriques parabòliques
• Coordenades paraboidales
• Coordenades esferoidals allargades
• Coordenades esferoidals aplatades
• Coordenades bipolars
• Coordenades toridales

Exemples en varietats diferencials

La coordenades usades en la teoria de la relativitat general són l'exemple físic més conegut de sistemes de coordenades sobre un espai globalment no-euclidià.

En un espai-temps estàtic sempre és possible escollir al voltant de qualsevol punt del espai-temps un sistema de coordenades ortogonal.